dE 0 了解此法，仅做对比
由图可知 Rsin Rcsc
zzcot dzcs2cd
r 2a
3
r3 2a3
(r
a) 求电荷分布。
解：由高斯定理的微分形式 E ， 得电荷密度为 0
0E
用球 r) rs i1 n (s i nA ) rs i1 n A
可得
0 ra oE0 21a53(a2r2)
ra
例的：线有电荷限，长求直线线外l上任均意匀点分P布的着电线场密强度度为ρl
• 定义：由过一点的射线绕过
S
该点的某一轴旋转一周所扫 o
出的锥面所限定的空间
》如果以o’球心，R为半径作球面，若立体角的锥面
在球面上截下的面积为S，则立体角为： S/R2(sr)
整个球面对球心的立体角为 4
》任意面元对某点o’
ddSR co 2sdSr(rr 3 r)
dS
整个曲面S对点o’
R
q
r
0
y
08.854101236 1109F/m
分布电荷：对于实际带电体，应看成是连续分布在 一定区域内，如一段线，一个面，一个体积。 电荷密度：定量描述电荷的空间分布情况
体电荷密度：
V
q dq lim
V0V dV
q 为体积元 V 上的电荷
面电荷密度：
S
q lim
S0S
dq dS
线电荷密度：
l
q dq lim
§2.1 库仑定律与电场强度
§2.1.1 库仑定律
• 定律：真空中两个点电荷之间的作用力的大小与
两点电荷量之积成正比，与距离平方成反比，力
的方向沿着它们的连线，同号相斥，异号相吸。
• 表达式： 只能直接用于点电荷
F4q0qR2R04qq0
R R3
真空介电常数：
表征真空电性质的物理量 x
z
q
r
Rrr
(r r)dS S r r 3
o
r
r
闭合曲面S对点o’
o
S dS (rr r r ) 3 d S 4 0rr
在S内 在S外
二、高斯定理
高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭
合面内电荷间的关系。
点电荷q的电场穿过任意闭曲面S的通量： 立体角
SE d S 4 q 0Sr r r r 3d S 4 q 0S d
0
证明
若闭合面内的电荷密度为
，有
S
EdS
1
0
V
dV
利用散度定理：V
EdV
1
d
0 V
V
由于体积V是任意的，所以有
E
0
高斯定理应用：
积分形式：求电场，适用于呈对称分布的电荷系统。
关键：高斯面的选择。
高斯面的选择原则：
E//dS或
• 场点位于高斯面上； • 高斯面为闭合面；
SS1S2且 E//dS1,EdS2
•
线分布电荷：E (r)1
40l
l(r r )(r r 3 r )d l 4 1 0l
l( R r 2 )e R d l
例2-1 半径为a的均匀带电圆环，求轴线上电场强度。
解： 取如图坐标系，设电荷密度为 l
r zez
z
r a cos ex a sin e y
rR
r r ( z 2 a 2 )1 2
解：采用圆柱坐标系，在直线l上选一
线点元P(ρd,z′φ,其,z上)的的电电场荷强为度ρ为l dz′，它在场
1 dE
40
ldz
R2
eR
E(r)410 l l(R r2)eRdl
电由场于直dE线可电以荷分具解有为轴如对下称三性个，分因量此：
dE dEsin41 0R ld2 zsine
dE zdEcos410R ld2zcosez
• 在整个或分段高斯面上，E或EdS为恒定值
微分形式：从电场分布计算电荷分布。
对高斯定理的讨论
• 物理意义：静电场穿过闭合面S的通量只与闭合面内 所围电荷量有关。
• 静电荷是散度源，激发起扩散或汇集状的静电场 • 无电荷处，散度为零，但电场不一定为零。
例2-2 假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为ρ0的 电荷，试求任意点的电场强度。
若q位于S内部，立体角为4π；若q位于S外部，立
体角为零。
点电荷系或分布电荷的高斯定理 E dS Q
S
0
高斯定理积分形式：
E dS
Q
S
n
0
点电荷：Q q
多个点电荷：Q qi i
体分布电荷： Q dV V
面分布电荷：Q S SdS 线分布电荷： Q lldl
高斯定理微分形式： E
解：作一个与带电体同心、半径为r的球面为高斯面。
当r>a时，Er 4r2
0 0
4
3
a3
故
Er
0a3 3 0r 2
(r )
当r≤a时，Er 4r2
0 0
4
3
r3
所以
Er
0r 30
(r )
例 2 - 3 已知半径为a的球内、 外的电场强度为
a2 E er E0 r2 (r a)
E
er E0
5
第二章 静电场
§2.1 库仑定律与电场强度 §2.2 高斯定理 §2.3 静电场的旋度与静电场的电位 §2.4 电偶极子 §2.5 电介质中的场方程 §2.6 静电场的边界条件 §2.7 导体系统的电容 §2.8 电场能量与能量密度 §2.9 电场力
本章重点
• 库仑定律与电场强度 • 真空中静电场的基本方程 • 电介质中的静电场方程 • 静电场的电位 • 静电场的边界条件 • 导体系统的电容 • 电场能量与能量密度
l0 l dl
§2.1.2 电场强度（单位：伏/米，V/m)
空间一点的电场强度定义为该点 z
Rrr
的单位正试验电荷所受到的力
q
• 真空中点电荷电场强度为：
q R q rr
E(r)40R340 rr3
r
x0
r
y
• 真空中n个点电荷：E (r)i n 14qi0rr rrii3i n 14qi0R eR 2
• 体分布电荷：E (r ) 4 1 0V(r r ) (r r 3 r ) d V 4 1 0V(R r 2 ) e R d V
• 面分布电荷：E (r ) 4 1 0SS ( r r ) ( r r 3 r ) d S 4 1 0SS ( R r 2 ) e R d S
dl ad
0
y
x
r
所以
E(r) l
40
2(zez
0
ac(aos2ezx2)3a2siney)ad
a20l
z (a2z2)32
ez
补充作业
两点电荷q1=8C，位于x轴上x=4处， q2 =-4C，位于y轴上y=4处，求z轴 上点（0，0，4）处的电场强度。
§2.2 高斯定理
一、立体角（单位，球面度）