2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考数学试题卷（理科）2014.3特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知复数21izi=-（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）（A）i（B）1 （C）i-（D）1-（2）已知条件p：α是两条直线的夹角，条件q：α是第一象限的角。

则“条件p”是“条件q”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）（原创）以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）。

已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则x、y的值分别为（）（A）4、5 （B）5、4（C）4、4 （D）5、5（4）（原创）已知实数,x y满足41x y+=，则xy的值域为（）（A）1 0, 16⎛⎤⎥⎝⎦（B）11, 1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C）1 , 16⎛⎤-∞⎥⎝⎦（D）1 , 8⎛⎤-∞⎥⎝⎦（5）某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积为（）（A）45π（B）54π（C）63π（D）69π（6，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（）（A ）1 （B ）43 （C） （D ）3（7）已知函数()33f x x x c=-+的图像与x 轴恰好有三个不同的公共点，则实数c 的取值范围是（ ） （A ）()1,1- （B ）[]1,1- （C ）()2,2- （D ）[]2,2-（8）执行如右图所示的程序框图，则输出的s 的值等于（ ） （A ）13 （B ）15 （C ）36 （D ）49（9）()0203sin 70tan 804cos102cos 10--⋅=-（ ）（A（B ）2 （C） （D ）4（10）（原创）已知,,D E F 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且满足23AF AB=，34AE AC= ，()||cos ||cos AB ACAD R AB B AC C λλ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，DE DA DE DC ⋅=⋅ ，()sin cos ||||BD B AD B DF R BD AD μμ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭。

则||:||EF BC = （ ）（A ）13 （B ）12 （C（D二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上） （11）正项等比数列{}n a 中，12139a a =，则9192924log log log a a a +++= 。

（12）已知集合{}2|230A x R x x =∈--<，集合{}|||2B x R x =∈≤，则集合A B = 。

（13）（原创）小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是 （用数字作答）。

特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

（14）（原创）如图，在ABC ∆中，3AB =，4BC =，5CA =，D 是BC 的中点，BE AC ⊥于E ，BE 的延长线交DEC ∆的外接圆于F ，则EF 的长为 。

（15）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系。

已知点()1,0P -，若极坐标方程为96cos 6sin ρθθρ=-+的曲线与直线143x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则||||PA PB ⋅= 。

（16）若关于实数x 的不等式|15||13|||x x a x -++<无解，则实数a 的取值范围是 。

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） （17）（本小题满分13分，⑴小问6分，⑵小问7分）设()()2713x f x e ax x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线l ：20ex y e -+=平行。

⑴确定a 的值； ⑵求函数()f x 的单调区间。

（18）（本小题满分13分，⑴小问5分，⑵小问8分）（原创）小张有4张VCD 光盘和3张DVD 光盘，小王有2张VCD 光盘和1张DVD 光盘，所有10张光盘都各不相同。

现小张和小王各拿一张光盘互相交换，求：⑴小张恰有4张VCD 光盘的概率；⑵小张的DVD 光盘张数X 的分布列与期望。

（19）（本小题满分13分，⑴小问5分，⑵小问8分）（原创）如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ，BC CD ⊥，2CD =，4AD =。

MPAM 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=。

⑴证明://PQ 平面BCD ；⑵若异面直线PQ 与CD 所成的角为045，二面角D BM C --的大小为θ，求cos θ的值。

（20）（本小题满分12分，⑴小问5分，⑵小问7分）（原创）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且()sin sin sin b B a A c C =+。

⑴求角B 的大小；⑵设()24cos 40b b A C --+=，求ABC ∆的面积S 。

（21）（本小题满分12分，⑴小问5分，⑵小问7分）（原创）如图所示，椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆Γ上的点到12,F F 的距离之差的最大值为2，且其离心率e 是方程24830x x -+=的根。

⑴求椭圆Γ的方程；⑵过左焦点1F 的直线l 与椭圆Γ相交于,A B 两点，与圆222x y a +=相交于,C D 两点，求||||AB CD 的最小值，以及取得最小值时直线l 的方程。

（22）（本小题满分12分，⑴小问3分，⑵小问4分，⑶小问5分）（原创）在数列{}n a 中，已知11a =，23a =，其前n 项和nS 满足()()12n n nS a a n N +=+∈。

⑴求345,,a a a 的值；⑵求n a的表达式；⑶对于任意的正整数2n ≥，求证：()121221n na a a n ->+ 。

命题人：薛廷兵 审题人：梁 波2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考 数 学 答 案（理科）2014.3 一．选择题：BDACB ACDCD二．填空题：11．12；12．{}|12x x -<≤；13．716；14．1415；15．2；16．(],8-∞17．解：⑴由题()()()()2271327276x x x f x e ax x e ax e ax a x '⎡⎤=-++-=+-+⎣⎦，故()()131f e a '=-。

因直线l 的斜率为2e ，故()312e a e-=，从而1a =；⑵()()()()25623x x f x e x x e x x '=-+=--，由()0f x '≥得2x ≤或3x ≥，由()0f x '<得23x <<。

故()f x 的单增区间为(),2-∞和()3,+∞，单减区间为()2,3。

18．解：⑴记事件A 为“小张和小王各拿一张VCD 光盘交换”，事件B 为“小张和小王各拿一张DCD 光盘交换”，则,A B 互斥，且()4287321P A ⋅==⋅，()3137321P B ⋅==⋅，故所求概率为()()()1121P A B P A P B =+=；⑵X 所有可能取值为2,3,4，且()3222737P X ⋅===⋅，()42311137321P X ⋅+⋅===⋅，()41447321P X ⋅===⋅。

故X 的分布列如右表，X 的期望2114612347212121EX =⋅+⋅+⋅=。

19．法一：⑴如图，连AP 并延长交BD 于E ，连CE ，过M 作//MN BD 交AP 于N ，则AN NE =，NP PE =。

故3AP PE =，从而//PQ CE 。

因PQ ⊄平面BCD ，CE ⊂平面BCD ，故//PQ 平面BCD ；⑵过C 作CF BD ⊥于F ，作CR BM ⊥于R ，连FR 。

因⊥AD 平面BCD ，故平面ABD ⊥平面BCD ，故CF ⊥平面ABD ，因此CF ⊥BM ，从而BM ⊥平面RCF ，所以CRF θ∠=即为二面角D BM C --的平面角。

因//PQ CE ，故045DCE ∠=，因此CE 即为BCD∠的角平分线。

由⑴易知22DE MN EB ==，故2DC BC =，从而1BC =，CF ==。

由题易知BC ⊥平面ACD ，故BC ⊥CM 。

由题CM =，故CR ==。

所以sin CF CRθ==而cos θ==法二：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0D ，()2,0,4A ，()2,0,2M ，()12,0,1Q 。

RFE N BP MDCAQ zyxBPMDCAQ⑴设()0,,0B y ，则()1,2,1P y ，因此()12,2,0QP y =。

显然()0,0,4DA =是平面BCD的一个法向量，且0QP DA ⋅=，所以//PQ 平面BCD ；⑵由⑴1QP CD ⋅=，||QP = ，||2CD = ，故由0cos 45||||QP CD QP CD ⋅=得1y =，因此()0,1,0B ，从而()2,1,0BD =- ，()2,1,2BM =- 。

设()111,,m x y z =是平面BMD的法向量，则1111120220x y x y z -=⎧⎨-+=⎩，取11x =得()1,2,0m = 。

设()222,,n x y z = 是平面BMC 的法向量，则11110220y x y z =⎧⎨-+=⎩，取11x =得()1,0,1n =-。

故cos ||||||m n m n θ⋅==20．解：⑴由正弦定理可得()22b a c c=+-222a cb =+-，故由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==030B =；⑵因()()2216cos 1616sin 0A C A C ∆=--=--≥，故()2sin 0A C -=，得A C =，且()4cos 22A C b -==。

故2220222cos30a a =-，得28a ==+，故201sin 3022S a ==。

21．解：⑴设P 是椭圆Γ上任意一点，则1212||||||2PF PF F F c-≤=，故1c =。