A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、 PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.
【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB. ∴ PE+EQ=PA=12cm PF+FQ=PB=PA=12cm ∴周长为24cm
O B C
例2、（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那
么这个正三角形的边长为（ ）
A．2
B．3
C．
3
D．
2 3
例3、已知,△ABC 中,BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它的内切 圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F,求 AF、BD和CE的长。
A
F
E
B
D
C
例4.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是
∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究：
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为 切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交 E AB于C。
A
O
C D B
P
（1）写出图中所有的垂直关系 （2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形
A D I B ┐ E F
这个三角形叫做圆的外切三角形 三角形的内心就是三角形的三个 内角角平分线的交点 三角形的内心到三角形的三边的 距离相等
C
三角形的外接圆：
A
三角形的内切圆：
A
O B C B
I
D
C
三角形的外心
三角形的内心
例1：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点O是 等，弧相 等，垂直关系提供了理 论依据。必须掌握并能 灵活应用。
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面 截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽 可能大呢？ 这个圆与三边都相切， A 叫这个三角形的内切圆 A
D. B C
.F .
E C
B
问题：如图△ABC，要求画△ABC的内
切圆，如何画？ 已知：△ABC 求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法： 1 、作∠ B 、∠ C 的平分线 BM 、 CN，交点为I 2、过点I作ID⊥BC，垂足为D N 3、以I为圆心，ID为半径作⊙I ⊙I就是所求的圆
A
M I D C
B
与三角形各边都相切的圆
叫做三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心
24.2.2
直线和圆的位置关系
切线长定理
1、如何过⊙O上一点P画出⊙O的切线？
2、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 3、这样的切线能画出几条？ 4、如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
O
A
130°
B
50°
P
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A
∴∠OAP=∠OBP=90° ∵OA=OB，OP=OP
O ·
1 2
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
P
∴PA=PB ∠ 1 =∠ 2
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，
它们的切线长相等，
这一点和圆心的连线平分两条切线的 夹角。
符号表示
A
O ·
1 2
P
B
PA = PB PA、PB分别切⊙O于A、B
A
O·
P
思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？ 切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是线段的长， 这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量
观察与思考:
PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？
A
O ·
P
B
① PA=PB ② PO平分∠APB
连结OA、OB、 ∵PA、PB与⊙O相切，点A、 B是切点
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中相等的圆弧
（5）写出图中所有的等腰三角形
△ABP， △AOB
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA
反思：在解决有关圆 的切线长的问题时， 往往需要我们构建基 本图形。
A
。
O
P B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点