简化
流动 类比 普朗特 速度边界层 波尔豪森 热边界层 对流换热
5-3边界层型对流传热问题的数学描述 传热学 Heat Transfer
普朗特速度边界层的概念： 实验发现：流体近壁面流动时基于粘性力 的速度梯度主要存在于近壁面的薄层，主 流区速度梯度很小。
固壁表面附近流体速度剧烈变化的薄层称 为速度边界层 ，速度边界层外的主流区 速度梯度视为零。
空调蒸发器、冷凝器
动物的身体散热
5-1 对流传热概述
传热学 Heat Transfer
对流换热：流体流过固体壁面时由于流体、固体表面温差所引发的热量 交换。 特点： 流体与固体表面直接接触； 存在温差； 同时存在导热和对流； 近壁面存在速度梯度较大的边界层。
研究目的： 牛顿冷却公式 揭示 h 的影响因素； 定量计算表面换热系数 h； 研究强化对流换热的措施。
Φ hA(t w t ) W
5-1 对流传热概述
对流换热的主要影响因素：
流动的起因； 流体有无相变；
传热学 Heat Transfer
流动的形态；
换热表面的几何因素； 流体的物理性质。 表面换热系数 h 取决于多种 因素，是一个复杂的函数：
自然对流
强迫对流
h f ( , c p ,, , r, u, l, t m )
二维、不可压缩、常物性、无内热源的能量方程 对流项包含流速u v，所以对流 换热问题中换热与流动密切相 关。
5-2 对流传热问题的数学描述
传热学 Heat Transfer
二维、稳态、常物性、无内热源、不计重力、不可压缩牛顿 流体的对流换热完整微分方程组：
u v 0 x y
u u 1 p 2u 2u u v ( 2 2 ) x y x x y v v 1 p 2v 2v u v ( 2 2 ) x y y x y
二维、稳态、常物性、无内热源、不计重力、不可压缩牛顿流体
对流换热完整微分方程组
对流换热边界层微分方程组
u v 0 x y
u u 1 p 2u 2u u v ( 2 2 ) x y x x y v v 1 p 2v 2v u v ( 2 2 ) x y y x y
5-3边界层型对流传热问题的数学描述 传热学 Heat Transfer
波尔豪森热边界层的概念： 实验发现：流体对流换热时温度梯度主要 存在于近壁面的薄层，主流区温度梯度几 乎为零。 实际对流换热 ≈ 热边界层内对流换热 固壁表面附近流体温度剧烈变化的薄层称 为热边界层t ，热边界层外的主流区温度 梯度视为零。
(t t w ) 99 %( t t w )
t
热边界层厚度 t 的量级与速度边界层 一致， 但是两者不一定相等，主要取决于普朗特数 Pr。
5-3边界层型对流传热问题的数学描述 传热学 Heat Transfer
波尔豪森热边界层的概念： 与边界层内速度分布一样，热边 界层内的温度分布也与流动形态 密切相关。
传热学 Heat Transfer
2t 2t 单位时间导入导出的净热量： Q导热 2 dxdy＋ 2 dxdy x y
单位时间热力学能的增量：
U 热力学能 c p dxdy
t
单位时间热对流传递到微元体的净热量： 1 + 2
t t Q对流 c p u v dxdy y x
Ludwig Prandtl 1875-1953
u y 99 %u
实际流动 ≈ 边界层内粘性流动
yx
du dy
+主流区无粘性理想流动
5-3边界层型对流传热问题的数学描述 传热学 Heat Transfer
普朗特速度边界层的概念： 层流：流体分层流动，各层间无掺混。 如何区分？ 湍流：流体间相互掺混，无规则脉动。
ht
t y
y 0
h
t
t y
y 0
λ：流体导热系数 ∂t/∂y：贴壁流体层的温度梯度 注意与导热问题第三类边界条件的区别
5-2 对流传热问题的数学描述
假设： 流体为连续介质，流动为二维；
传热学 Heat Transfer
流体为不可压缩牛顿流体；
常物性、无内热源； 忽略粘性耗散热；
传热学 Heat Transfer
第五章
对流传热的理论基础
5.1 对流传热概说 5.2 对流传热问题的数学描写
5.3 边界层型对流传热问题的数学描写
5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
传热学 Heat Transfer
对流传热应用背景
自然界中的种种对流现象
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电子器件冷却
强制对流与自然对流
沸腾传热原理
2t 2t t t c p u x v y x 2 y 2
注意：对流换热问题能量方程的边界条件只有第一类、第二类边界条件。
5-3边界层型对流传热问题的数学描述 传热学 Heat Transfer 动量方程中的惯性力项和能量方程中的对流项均为 非线性项，难以直接求解
层流：温度呈抛物线分布
湍流：温度呈幂函数分布
y y w ,t w ,l
hw,t hw,l
边界层内流动形态为湍流时可强化传热
5-3边界层型对流传热问题的数学描述 传热学 Heat Transfer 边界层的特点：
边界层厚度δt，δ 与壁面尺寸相比是小量，δt与δ 量级一致； 边界层内速度梯度和温度梯度很大； 流动区域分为边界层区和主流区，主流区的速度梯度和温 度梯度可忽略； 边界层内存在层流和湍流形态。
5-2 对流传热问题的数学描述
能量守恒方程：热力学第一定律 Q＝∆E+W
传热学 Heat Transfer
[导入与导出的净热量] + [热对流传递的净热量] + [内热源发热量] =[总能量的增量] + [对外膨胀功]
Q — Q导热 Q对流 Q内热源
E — U 热力学能 U K（动能）
dp 0 dx
传热学 Heat Transfer Re < 5105 , 层流
引入边界层概念的意义： 可以有效减小计算区域。对流换热主要集中于边界层内； 应用边界层概念可以简化微分方程组。
5-3边界层型对流传热问题的数学描述 传热学 Heat Transfer
边界层微分方程组的推导： 数量级分析：比较方程中各量或各项量级的相对大小，保留量级较 大的量或项，而舍去量级小的项，实现方程的合理简化。 令： 1 表示量级较大的量， 表示量级较小的量。


1
单位时间沿 y 方向热对流传递到微元体的净热量： Qy Qy (vt ) Qy Qy dy Qy Qy dy dy c p dydx y y y
2
5-2 对流传热问题的数学描述
Q导热 + Q对流 = U热力学能
u v 0 x y u u 1 dp 2u u v 2 x y dx y
t t 2t c（ v ) 2 p u x y y
p 0 y
2t 2t t t c p u x v y x 2 y 2
流动形态与流速，距 离和流体物性相关 临界雷诺数 Rec
Osborne Reynolds 1842-1912
5-3边界层型对流传热问题的数学描述 传热学 Heat Transfer
普朗特速度边界层的概念：
惯性力 u xc u xc Re c 粘性力
x<xc, Re<Rec 层流 光滑平板： Rec＝5×105 x>xc, Re>Rec 湍流 光滑圆管： Rec＝2100 层流底层（粘性底层）：紧靠 壁面处，粘性力占主导地位， 使粘附于壁的一极薄层仍然会 保持层流特征。层流底层内具 有最大的速度梯度。
U 热力学能 c p dxdy
单位时间沿 x 方向热对流传递到微元体的净热量：
t
在dΓ时间内X方向热对流带入微元体的焓
Qx c putdyd
在dΓ时间内X方向热对流带出微元体的焓 c put ut Qx Qx dx Qx dx Qx dxdyd Qx c p dxdyd x x x ut Qx Qx dx c p dxdyd x
忽略辐射换热。 四个未知量：u, v, p, t。
需要四个方程：基于质量守恒的连续方程 基于动量守恒的动量方程（x, y方向）
基于能量守恒的能量方程
5-2 对流传热问题的数学描述
基于质量守恒的连续方程：
传热学 Heat Transfer
单位时间流入流出微元体的净质量 = 微元体内流体质量的变化
假设： 无内热源，低速流动，流体不对外作功
Q导热 + Q对流 = U热力学能
传热学 Heat Transfer 5-2 对流传热问题的数学描述 Q导热 + Q对流 = U热力学能 单位时间导入导出的净热量： 单位时间热力学能的增量：
2t 2t Q导热 2 dxdy＋ 2 dxdy x y
六个基本量级
主流速度 u∞~1 压力 p～1 温度 t ~1 壁面特征长度 l ~1 速度边界层厚度 ~ 温度边界层厚度 t ~
边界层内参数的量级
x~ l ~1 y~ u ~ u∞~1 v~
m2 2 a~ ~ ~2 s 1

v u u ~ ~1 y x l
5-3边界层型对流传热问题的数学描述 传热学 Heat Transfer
5-1 对流传热概述 对流传热分类