( 0 , 0 ) Gn ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , n ) ( n , 0 ) ( n , 1 ) ( n , n ) .
特别地，
若{0 ( x), 1 ( x), n ( x)} C[a, b]是正交函数系, 即 ij 0, i j a i ( x) j ( x)dx 0, i j
* 讨论最佳平方逼近函数 p ( x) 的存在性，唯一性及计算方法。
(1)存在性，唯一性 n
令
f p
2 2
对p( x) p ，
n
（a0，a1， an） Rn1 p ( x) a j j ( x)
j 0
( x)( f ( x) a j j ( x))2 dx I (a0 , a1 ,, an )
2 b
，使得
f p * 2 inf ( x)[ f ( x) p( x)]2 dx
a
(12)
* p 则称 ( x)是 f (x)在 C[a, b] 中的最佳平方逼近函数。
* 2 || f ( x) p( x) ||2 || f ( x ) p ( x ) || 即给定 f ( x) C[a, b] ， 求p* ( x) ， 使 min 2 2 .
j 0
n
* * 即 ( x ) aa j j j ( x)k ( x)dx

b
n n
a
j j 00

(k 0,1,, n)， ( x) f ( x) ( x)dx ，
a k
b
再由内积的性质得：
* ( , ) a (k 0,1,, n)。 (13) k j j ( f , k ) ， j 0 n
b a
n n
nn
2( ( x)( f ( x) a j j ( x))(k ( x))dx)
b a j 0
jj 0 0 n
jj 00
令

b
a
( x)( f ( x) a*j j ( x))(k ( x))dx 0，（k 0， 1， 2， ，n），
b a j 0
n
f p
* 2 2
* * * 数分知识, ( x)( f ( x) a*j j ( x))2 dx I（a0 ， a ， a ） 1 n a j 0 它有稳定解
b
* * * 使 minI (a0 , a1 ,, an ) I (a0 , a1 ,an ) , a1 ,an )， 原问题转化为求 (a0 a 实数
a0 d 0 n * j 则有 p *( x) a jx j 0 a1 d1 平方误差为 n 1 2 2 * f a i ( f , i ) 2 2 an d n 2n 1 i 0
j k 1 j k 1 b a （ j， k ) x j k dx j k 1 a b
1
1
1
( f , k ) f ( x )x k dx d k , (k 0,1,, n)
0
1
解法方程组 Ga=d
1 1 2 1 n 1 1 2 1 3 1 n2 1 n1 1 n1
2
n
* 2 2
j 0
事实上,
f p
2 2 *
( f p, f p )
( f p p* p, f p* p* p) ( f p* , f p* ) ( p* p, p* p) 2( f p* , p* p)
* 因为 p p (a* a ) ( x ) ， a j j j j a j R, * j 0 * 所以 ( f p *，p * p) ( f p *， ( a j a j ) j ( x)). n n
定义3.3 设0 ( x), 1 ( x), n ( x)在[ a, b]上连续, 如果 a00 ( x) a11 ( x) an n ( x) 0 当且仅当a0 a1 an 0时成立,则称
0 ( x), 1 ( x), n ( x)在[ a, b]上是线性无关的.
因为0 ( x ), 1 ( x ),..., n ( x )在[a, b]上线性无关， 所以 G 0, 故法方程 GC F 的解存在且唯一。
结论3（最佳平方逼近）
（ 1 ）若 f ( x ) C[a, b]；
(2) 函数类 Span0 ( x),1 ( x),,n ( x) ， i ( x ) C[a, b]，
(14)
a0 ( f , 0 ) a ( f , ) 1 1 , an ( f , n )
因0 , , n线性无关, 故法方程系数行列式Gn 0, 法方程有唯一解. 可见,系数a* j 满足法方程.
定义3.4
(最佳平方逼近函数)
设 0 ( x ),1 ( x ), n ( x ),是C[a , b]中的线性无关函数, 记
span{0,1, ,, n , } { p( x) : p( x) akk ( x), ak R}
k 0 n
对于f (x)∈C[a,b],若存在 p* ( x)
(a* j a j )( f p *， j ( x) )
j 0
n
j 0
0
2 2
误差与基函数正 交
所以
f p
2 2
( f p* , f p* ) ( p* p, p* p) 2( f p* , p* p)
f p
* 2 2
p p
*
f p
几何解释：
f ( x)
f ( x ) p *( x )
H
p * ( x)
结论2 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
( 0 , 0 ) (1 , 0 ) ( n , 0 ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 n 1 G 0 1 ( 0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
f p
* 2 2
f
n
2
* ( f , p )。 2

2 2
f
* a i ( f , i ) 2 2 i 0
总结上述讨论则有以下结论1,2,3.
结论1 设内积空间X C [a , b]中的子空间 H span{ 0 ( x ), 1 ( x ), ..., n ( x )} X， 函数p * (x ) H 是对f ( x ) X的最佳平方逼近函数的 充分必要条件是f ( x ) p * ( x )与所有的 j ( x ) (j=0,1, ...,n)正交，即满足 (f ( x ) p * ( x ), j ( x )) 0, ( j 0,1, ..., n)
由(13) 知
* ( , ) a j k j ( f , k ) ， j 0
n
(k 0,1,, n)
( f p* ,k (x))=0
k 0,1,, n
(15)
误差与基函数正 交
(2)要证明法方程确定的p *( x)是f ( x)在集合上的 最佳平方逼近函数.
即证p( x) a j j ( x) ， 有 f p 2 f p
3.3
连续函数的最佳逼近
1 连续函数的最佳平方逼近
2 连续函数的最佳一致逼近
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx, f , g C[a, b]
a
b
3.3.1 连续函数的最佳平方逼近
连续函数空间C[a,b]上定义了内积（6）就形 成了一个内积空间。在Rn空间中任一向量都可用 它的线性无关的基表示。类似地，对内积空间任 一元素f (x)∈ C[a,b]，也可用线性无关的基表示。

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

* 即求p *( x) a* 的系数 a j j j , 使得 j 0
n
i
I (a0 , a1 , an ) ( x)[ f ( x) a j j ( x)]2 dx
b a
n
取得极小值。
可由 [
j 0
I ]( a , a ) 0， ( k 0,1,, n) ， 求(a* , a* ,a* ) ， 0 1 n ak 0 n
这是关于{aj}(j=0,1,…n)的线性方程组，称为 法方程. 简记为 Ga=d. 其展开形式为
(0 , 0 ) (0 , 1 ) ( , ) ( , ) 1 1 1 0 (n , 0 ) ( n , 1 ) (0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
2.函数逼近问题的提出
函数逼近问题 : 对f ( x) C[a, b], 求p *( x) span{0 , ,
n }, 使得误差f ( x) p *( x)在某种度量意义下最小. 其中 0 , , n C[a, b]线性无关.
下面讨论在区间[a,b]上 一般的最佳平方逼近问题。
* 2 2
, p( x)
即p *( x)是最优的。
非负
(3) 平方误差
f p
* 2 2
( f p* , f p* )
( f , f） （p*，p*） （ 2 f , p*）
因 ( p* , p* ) ( f ，p*）（ p* f ，p* ) 0 ，