◎求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； （5）*三角函数中的正切x y tan =的定义域为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
∈+
≠Z k k x x ，2
π
π；
（6）已知函数()x f 的定义域为D ，求函数()[]x g f 的定义域，只需()D x g ∈；
（7）已知函数()[]x g f 的定义域D ，求()x f 的定义域，只需(){}x g y y x =∈，即求()x g 的值域。

（8）已知函数()[]x g f 的定义域D ，求()[]x t f 的定义域，只需()1D x g D x ∈⇒∈，()21D x D x t ∈⇒∈⇒。

（9）已知函数()x f 或()[]x g f 的定义域D ，求()[]x t f 与别的函数的复合函数的定义域，按（6）、（7）的方法求()[]x t f 的定义域，再与别的函数定义域的交集。

（10）已知()x f 的解析式，求()[]x f f 的定义域，先求出()x f 的定义域D ，让()D x f ∈，求出x 的范围。

如果()x f 的定义域是D x ≠，则让()D x f ≠求出1D x ≠，最终D x ≠且1D x ≠。

例：求下列函数的定义域
1、)2-lg(=2x x y 2>0<x x 或
2、1
21+2=
2
--x x x y ()+∞⋃-,1)1,5.0(
3、2-x y 2
log
=[)+∞,4 4、)
1(log 3422-+-=
x x x y [)+∞,3
5、已知
()y f x =的定义域是[]1,0，则函数()x f 21-的定义域是 []5.0,0 6、已知()x f y =的定义域是[]2,0，则函数()1
2)(-=x x f x g 的定义域是 [)1,0
7、已知()x
f 2
的定义域是[]1,1-，则()x f 2
log
是定义域是
[
]
4,2
8、已知()1
1+=
x x f ，则函数()[]x f f 的定义域是 {}2,1≠≠x x x
9、已知若()y f x =的定义域是[]
0,2，则函数()()121f
x f x ++-的定义域是
[][]5.1,5.01,1⋂-
10、已知函数()3
41
2
++-=
mx mx
mx x f 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 ⎪⎭
⎫
⎢⎣
⎡
43,
◎求函数值域的方法
①图象法； ②单调性法； ③对于复合函数从内向外逐层递推； ④换元法：设一个式子为t ，从而将函数化为关于t 的一个函数，进而求解；
⑤判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式； ⑥分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； ⑦利用式子或变量的有界性求解；
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。

主要是含绝对值函数。

例：求下列各式的值域
①（直接法）2
123
y x x =
++ ②()2f x =-
【解析】 ()221322
2≥++=++x x x ()2512242
2+--=-+x x x
【答案】 .50≤<0y 23≤≤-y ③（换元法）12-+
-=x x y ④（Δ法） 4
32
+=
x x y
【解析】 令u x =-12，()2
12
--
=u y 0342=-+x y y x 0432=-+y x yx
【答案】 0≤y 0169≥+=∆y or 0=y 16
9-≥y
⑤(单调性)3([1,3])2y x x x
=-
∈- ⑥ 311
x y x -=
+(5)x ≥
【解析】 递增函数 1
43+-=x y
【答案】 5.2≤≤5.0y 7[
,3)
3
y ∈ ⑦1
y =分子/分母有理化) ⑧(图象法)()5211
2<≤<-=
x or x x y
【解析】 上下乘以11-++x x 画出图像
【答案】 2≥
y ()⎥
⎦
⎤
⎝⎛⋃∞-∈2,210,y
⑨(几何意义)31y x x =-++
【解析】 可以看成是数轴上动点P （x ）与定点A （3）、B （-1）的距离的差。

【答案】 4134≤+--≤-x x
如果()x f y =的定义域是[]1,0，值域为[]2,1，则函数)2(+x f 的定义域和值域分别是 [][]2,1,2,2-
4、构成函数概念的三要素：①定义域；②对应法则；③值域。

两个函数是同一个函数的条件：三要素都相同。