求函数定义域和值域方法总结
一、求函数定义域方法总结
（一）简单函数定义域的类型及方法【必会！！！】
（1）f(x)为整数型函数时，定义域为R.
例如d cx bx ax x f c bx ax x f b kx x f +++=++=+=232)(,)(,)(定义域均为R.
（2）f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合.
例如-4)(x 41)( ,1)(x 1)(≠+=≠=
x x f x x f （3）f(x)为二次根式（偶次根式）型函数时，定义域为使被开方数大于等于零的实数的集合.
例如0)x -2(x 2)( 0),(x )(2≥≤+=≥=或x x x f x x f
（4）f(x)为对数型函数时，定义域为使真数大于零的实数集合.
例如-1)(x )1(log )( 0),(x log )(2>+=>=x x f x x f a
（5）正切函数)k ,k 2(x tan Z x y ∈+≠=ππ
例如Z)k ,2
k 4(x )2tan()(∈+≠=ππ
x x f （6）00没有意义.
例如)2
1(x ,)12()(0≠-=x x f
（二）对于抽象函数定义域的求解
（1）若已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，则复合函数))((x g f 的定义域由不等式b x g a ≤≤)(求出的x 的范围；
例如：已知)(x f 的定义域为]5,1[，则)23(+x f 的定义域为]1,3
1[-. （2）若已知函数))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域为)(x g 在],[b a x ∈上的值域.
例如：已知)3(-x f 的定义域为]7,0[，则)(x f 的定义域为]4,3[-.
二、求函数值域方法总结
（一）常见函数的值域（结合图像）【必会！！！】
（1）一次函数)0( ≠+=k b kx y 的值域为R .
（2）二次函数)0( 2≠++=a c bx ax y 的值域为：
当0>a 时，值域为}44|{2a b ac y y -≥；当0<a 时，值域为}44|{2
a
b a
c y y -≤. （3）反比例函数)0( ≠=k x
k y 的值域为}0|{≠y y . （4）指数函数)10( ≠>=a a a y x 且的值域为}0|{>y y .
（5）对数函数)10( log ≠>=a a x y a 且的值域为R .
（6）三角函数：
正弦函数：
x y sin =值域是]1 ,1[-；
余弦函数：x y cos =值域是]1 ,1[-；
正切函数：x y tan =值域是R . （二）常数分离法：对于d cx b ax y ++=
型函数 例如：,313313)1(313≠-+=-+-=-=x x x x x y 故1
3-=x x y 值域为}3|{≠y y .
（三）换元法：对于b ax y ±+=例如：求x x y 21--=值域.
解：函数定义域为]2
1,(-∞， 令)0( 21≥-=t x t ，则212
t x -=， 1)1(21212121222++-=+--=--=∴t t t t t y 1 -=x 开口向下，对称轴
2
11210=+-≤≥y t 时，当 故所求值域为]2
1,(-∞. （四）复合函数用变量替换法
例如：求函数)4(log 22+=x y 的值域，
解：函数定义域为R ，
令42+=x t ，则t y 2log =，
2
4log 42=≥∴≥y t 故函数值域为),2[+∞.
（五）导数法
利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
（六）分段函数：先分段求范围再取并集即得值域
例如：求分段函数值域⎩⎨⎧∈--∈-=]
5,2( ,3]2,1[ ,3)(2x x x x x f ].3 ,1[ 2
31]5 ,2( ;
331]2 ,1[2-∴≤-<-∈≤-≤--∈值域为时，当时，解：当x x x x
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