求函数值域的解题方法总结（16种）在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

一、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例:求函数()x 323y -+=的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。

解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。

点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。

练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。

（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例：求函数2x 1x y ++=的值域。

点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数2x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数x-x -xx 10101010y ++=的值域。

（答案：{}1y 1-y |y 或）。

三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。

例：求函数()2x x-y 2++=的值域。

点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。

此时2x x -2++=4921-x -2+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()232x x-02≤++≤∴，即原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23y 0|y点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：x 4-155-x 2y +=的值域。

（答案：{}3y |y ≤）四、判别式法：若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数的值域。

例:求函数22(1)(2)(1)x y x x +=--的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式法求原函数的值域。

解：由22(1)(2)(1)x y x x +=--=2(2)(1)x x --=2232x x -+ 得23220yx yx y -+-=∵当0y =时，-2 = 0 ，不成立当0y ≠时，由0∆≥，得2(3)4(22)y y y ---=280y y +≥ ∴8y ≤-或0y ≥由于0y ≠ ∴函数22(1)(2)(1)x y x x +=--的值域为{}|80y y y ≤->或。

点评：把函数关系化为二次方程()0y x =，F ，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。

常适用于fex dx c bx ax y 22++++=及e dx cx b ax y 2++±+=。

练习：求函数22y=3x x +的值域。

（答案：|y y ⎧⎪≤⎨⎪⎪⎩⎭）。

五、最值法：对于闭区间[]b a ，上的连续函数()x f y =，可以求出()x f y =在区间[]b a ，内的较值，并与边界()()b f a f ，作比较，求出函数的值，可得到函数y 的值域。

例：已知()()01x x 33-x -x 222≤++，且满足1y x =+，求函数x 3xy z +=的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：01x x 32 ++，上述分式不等式与不等式03-x -x 22≤同解，解之得23x 1-≤≤，又1y x =+，将y=1-x 代入x 3xy z +=中，得⎪⎭⎫⎝⎛≤≤+=23x 1-x 4-x z 2， ()42-x -z 2+=∴且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈231-x ，，函数z 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡231-，上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=-5；当23x =时，415z =。

∴函数z 的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤415z 5-|z 。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。

对开区间，若存在值，也可通过求值而获得函数的值域。

练习：若x 为实数，则函数5-x 3x y 2+=的值域为( )A.()+∞∞-,B.[)∞+-，7 C.[)∞+，0 D.[)∞+-，5 (答案：D ） 六、单调法:利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例：求函数x 3-1-x 4y =的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即()x 3-1-x g =，()()x g x f y +=其定义域为31x ≤，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,()x 3-1-x g =,(31x ≤),易知它们在定义域内为增函数，从而()()x g x f y +==x 3-1-x 4在定义域为31x ≤上也为增函数，而且3431g 31f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤,因此，所求的函数值域为｛y|y ≤34｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数x -43y += 的值域。

(答案：｛y|y ≥3｝)直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例1: 求函数xx e e 1y -=的值域。

解：由原函数式可得：1-y 1y e x +=∵ 11y -+∴y解得：1y 1- 故所求函数的值域为(-1,1)例2: 求函数3-sinx cosx y =的值域。

0e x>解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得： 故函数的值域为十四、数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例1: 求函数的值域。

解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），间的距离之和。

由上图可知，当点P 在线段AB 上时， 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为：例2: 求函数的值域。

解：原函数可变形为：上式可看成x 轴上的点到两定点的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，，故所求函数的值域为y 3x cos x sin y =-y 3)x (x sin 1y 2=β++1y y 3)x (x sin 2+=β+R x ∈]1,1[)x (x sin -∈β+11y y 312≤+≤-42y 42≤≤-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,4222)8x ()2x (y ++-=|8x ||2x |y ++-=)8(B -10|AB ||8x ||2x |y ==++-=10|AB ||8x ||2x |y =>++-=],10[+∞5x 4x 13x 6x y 22++++-=2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=)0,x (P )1,2(B ),2,3(A --43)12()23(|AB |y 22min =+++==],43[+∞例3:求函数的值域。

解：将函数变形为：上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点到点的距离之差。

即：由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为：注：由上例可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。

如：例3的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），，在x 轴的同侧。

十五、一一映射法原理：因为在定义域上x 与y 是一一对应的。

故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例：求函数的值域。

解：∵定义域为由得 故或解得故函数的值域为 5x 4x 13x 6x y 22++-+-=2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=)1,2(B -)0,x (P |BP ||AP |y -='P 'ABP ∆26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-26y 26<<-26|AB |||BP ||AP ||==-]26,26(-)1,2(--)1,2(-)0c (d cx bax y ≠++=1x 2x31y +-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或1x 2x 31y +-=3y 2y1x +-=213y 2y 1x ->+-=213y 2y 1x -<+-=23y 23y ->-<或⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323,十六、多种方法综合运用例1：求函数的值域。

解：令，则（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例2： 求函数的值域。

解：令，则∴当时， 当时，此时都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

3x 2x y ++=)0t (2x t ≥+=1t 3x 2+=+0t >21t 1t 11t t y 2≤+=+=1x -=21y 0≤<⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,042432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=4234242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=2222x 1xx 1x 1++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2tan x β=β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222cos x 1x 1β=+sin 21x 1x 21sin 21sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴161741sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-β-=41sin =β1617y max =1sin -=β2y min -=2tanβ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1617,2βsin。