【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 数列 2.2.2.2 等
差数列的性质学业分层测评 苏教版必修5
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于________．
【解析】∵A ，B ，C 成等差数列，∴B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又∵A ＋B ＋C ＝180°，
∴3B ＝180°，从而B ＝60°. 【答案】 60° 2．已知a ＝
1
3＋2，b ＝1
3－2
，则a ，b 的等差中项是________． 【解析】 因为a ＝
1
3＋2＝3－2，
b ＝
13－2
＝3＋2，所以
a ＋b
2
＝ 3.
【答案】 3
3．在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________. 【解析】 由等差数列的性质，可得a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11， ∴36＝2(a 5＋a 8)， 故a 5＋a 8＝18. 【答案】 18
4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.
【导学号：91730029】
【解析】∵{a n }，{b n }都是等差数列，∴{a n ＋b n }也是等差数列，其公差为21－72＝14
2＝7，
∴a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35. 【答案】 35
5．(2016·泰州高二检测)若等差数列的前三项依次是1x ＋1，56x ，1
x
，那么这个数列的第101项是________．
【解析】 由已知得2×56x ＝1x ＋1＋1
x ，
解得x ＝2，
∴a 1＝13，d ＝112，
∴a 101＝13＋100×112＝823.
【答案】 82
3
6．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m ＝________.
【解析】 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.
【答案】 8
7．(2016·镇江高二检测)已知数列－1，a 1，a 2，－4与数列1，b 1，b 2，b 3，－5各自成等差数列，则
a 2－a 1
b 2
＝________. 【解析】 设数列－1，a 1，a 2，－4的公差是d ，则a 2－a 1＝d ＝－4－－1
4－1
＝－1，
b 2＝
－5＋12＝－2，故知a 2－a 1b 2＝1
2. 【答案】12
8．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)＝________. 【解析】 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝
4π
3
，∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π
3
＝－ 3.
【答案】 － 3 二、解答题
9．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b
c
也成等差数列．
【证明】∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c
，
即2ac ＝b (a ＋c )．
∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝
c b ＋c ＋a a ＋b ac
＝
c 2＋a 2＋b a ＋c ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac
＝
2a ＋c
2
b a ＋c
＝
2
a ＋c
b
. ∴
b ＋
c a ，a ＋c b ，a ＋b
c
成等差数列．
10．(2016·扬州高二检测)若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．
【解】 显然a －4<a ＋2，
(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.
(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列， 则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )， ∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.
(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)， ∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.
能力提升]
1．(2016·南京高二检测)在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8
的值为________．
【解析】∵a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6，
∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝(a 6＋d )－12(a 6＋2d )＝12a 6＝1
2×16＝8.
【答案】 8
2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.
【导学号：91730030】
【解析】 设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
4a 1＋6d ＝3，
3a 1＋21d ＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1
＝13
22，d ＝7
66，
则a 5＝6766，故第5节的容积为67
66升．
【答案】67
66
3．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．
【解析】 第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2
＋n .
【答案】n 2
＋n
4．已知{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n
3a n ＋1
(n ∈N *
)．
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式． 【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n
3a n ＋1
， ∴1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝3＋1a n
，
即
1
a n ＋1－1
a n
＝3.
即⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是首项为1
a 1
＝1，公差为3的等差数列．
(2)由(1)得数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的通项公式为1
a n
＝1＋(n －1)×3＝3n －2，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2(n ∈N *
)．。