等差数列
教学目的：
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程：
引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？
共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的
差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）
⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +
，则此数列是等差数列，d 为公差
2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可
得：d a a =-12即：d a a +=12
d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=
d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a
如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =⨯-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-⨯-+=（n ≥1） 数列③
;,1,54
;53,52;51 5
51)1(51n n a n =⨯-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--=
则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n
m a a n m --
如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项
例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20
解法一：∵105=a ，3112=a ，则 ⎩⎨
⎧=+=+31
1110411d a d a ⇒⎩⎨
⎧=-=3
21d a ∴53)1(1-=-+=n d n a a n
5519120=+=d a a
解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a
∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n
小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+=
例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列n u 中，设数列的第s 项和第t 项分别为s u 和t u ，计算t
s u u t
s --的值，你能发现什么结论？并证明你的结论
解：通过计算发现t
s u u t s --的值恒等于公差
证明：设等差数列{n u }的首项为1u ，末项为n u ，公差为d ，⎩⎨
⎧-+=-+=)
2()1()1()1(11d t u u d
s u u t s ⑴-⑵得d t s u u t s )(-=- d t
s u u t
s =--∴
小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率
例4 梯子最高一级宽33cm ，最低一级宽为110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度
解：设{}n a 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：1a =33, 12a =110，n=12
∴d a a )112(112-+=,即10=33+11d 解得：7=d 因此，,61,54,47740,407335432===+==+=a a a a
,103,96,89,82,75,6811109876======a a a a a a
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm ，47cm ，54cm ，61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm.
例5 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数
解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2））
])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数
∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p
注：①若p=0，则{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，…
②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.
③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =p n+q (p 、q 是常数)称其为第3通项公式
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个
四、练习：
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项. 解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.
∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）×4,即n a =4n －1（n ≥1,n ∈N*） ∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39. （2）求等差数列10，8，6，……的第20项. 解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12, ∴20a =－2×20+12=－28. 评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7.
∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5. 令7n －5=100,解得：n =15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－32
1，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：
由题意可知：1a =0, d =－32
1 ∴此数列的通项公式为：n a =－2
7n +27, 令－27n +27=－20,解得n =7
47
因为－2
7n +2
7=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
2.在等差数列{n a }中，（1）已知4a =10,7a =19,求1a 与d ; （2）已知3a =9, 9a =3,求12a .
解：（1）由题意得：⎩⎨
⎧=+=+19
610311d a d a , 解之得：⎩⎨⎧==311d a . （2）解法一：由题意可得：⎩⎨
⎧=+=+3
89211d a d a , 解之得⎩⎨⎧-==1111d a
∴该数列的通项公式为：n a =11+（n －1）×（－1）=12－n ,∴12a =0 解法二：由已知得：9a =3a +6d ,即：3=9+6d ,∴d =－1 又∵12a =9a +3d ,∴12a =3+3×（－1）=0. Ⅳ.课时小结
五、小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +
）.其次，要会推导等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：=n a d m n a m )(-+和n a =p n+q (p 、q 是常数)的理解与应用.。