1. 对Runge 函数2()1/(125)R x x =+在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和()R x 的图
像进行比较，并对结果进行分析。

（1） 用等距节点1,0.1,020i x ih h i =-+=≤≤，绘出它的20次Newton 插值
多项式的图像。

（2） 用节点21cos()(0,1,2...,20)42
i i x i π+==，绘出它的20次Lagrange 插值多项式的图像。

（3） 用等距节点1,0.1,020i x ih h i =-+=≤≤，绘出它的分段线性插值函数
的图像。

（4） 用等距节点1,0.1,020i x ih h i =-+=≤≤，绘出它的三次自然样条插值
函数的图像。

结果分析：
等距节点的Newton插值在边界附近呈现不收敛的状态，也就是所谓的Runge 现象。

这是因为被插函数2
()1/(125)
R x x
=+及其任意阶导数并不是一致有界的。

由Lagrange插值的余项
(n1)
1
()
()()()()
(1)!
n n n
f
R x f x L x x
n
ξ
ω
+
+
=-=
+
，由于高阶导数值
非常大，在等距节点的高次插值中，余项的值很大，亦即误差特别大，表现为Runge现象。

在实际中，除非被插函数的光滑性十分好，否则等距节点的高次插值一般不使用。

切比雪夫多项式零点插值没有出现Runge现象，这是因为对于Lagrange插
值的余项
(n1)
1
()
()()()()
(1)!
n n n
f
R x f x L x x
n
ξ
ω
+
+
=-=
+
，切比雪夫多项式零点插值可以
将
1()
n x
ω
+项控制在
1
2n
以下（
1
[1,1]
max()
n
x
x
ω
+
∈-
=
1
2n
），由此可得切比雪夫多项式零点
插值的误差范围
(n1)
[1,1]
()
max()
2(1)!
n n
x
f
R x
n
ξ
+
∞
∈-
≤
+
，比等距节点的高次插值小很多，因此
对于被插函数的光滑性要求要比等距节点的插值也低很多。

分段低次线性插值是常用的一种插值方式。

线性插值的优点在于计算量小，但是从图中可以看出，其光滑性不够。

三次样条插值要求其一阶导数是连续的，因此其准确性好，光滑性也较优。

2. 对函数
sin ,10()cos ,01/20,1/21x x f x x x x ππ-≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩
在区间[-1,1]作下列插值逼近，和被插值函数的图像进行比较，并对计算结果进行分析。

（1） 用等距节点1,0.1,020i x ih h i =-+=≤≤，绘出它的20次Newton 插值
多项式的图像。

（2） 用节点21cos()(0,1,2...,20)42
i i x i π+==，绘出它的20次Lagrange 插值多项式的图像。

（3） 用等距节点1,0.1,020i x ih h i =-+=≤≤，绘出它的分段线性插值函数
的图像。

（4） 用等距节点1,0.1,020i x ih h i =-+=≤≤，绘出它的三次自然样条插值
函数的图像。

由matlab运行结果可以看到，等距节点的Newton插值在边界附近呈现不收敛的状态，切比雪夫多项式零点插值也有一定的振荡。

这是因为被插函数是分段函数，其一阶导数都不是连续的，光滑性非常差，因此相对于函数2
=+，其切比雪夫多项式零点插值的收敛性差很多。

分段低次线()1/(125)
R x x
性插值与三次样条插值相比较，其光滑性不够，但是三次样条插值在断点附近有轻微的振荡，准确性比不上分段线性插值。