65． 计算及其应用（1）
一、典型例题
1． 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面和底面边长都是a ，截面AB 1C 和截面A 1BC 1相交于
DE ，求三棱锥B －B 1DE 的体积。

[348
3a ] 2． 在边长为5＋2的正方形ABCD 内，以A 为圆心画一个扇形，再画一个⊙O ，它在与BC 、
CD 相切，切点为M 、N ，又与扇形的圆弧EF 相切于K 点，把扇形围成圆锥的侧面，⊙O 为圆锥的底面，求这个圆锥的体积。

[π3
302] 3． 如图，已知在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，平面A 1B 1C 1⊥平
面ABB 1A 1，异面直线BC 1与AB 1互相垂直，①求证：AB 1⊥平面A 1CD ；②若CC 1与平面ABB 1A 1的距离为1，A 1C ＝37，AB 1＝5，求三棱锥的体积。

[5/3]
4． 直平行六面体，底面两邻边之和为a ，底面的锐角为30°，侧面积为S ，①求体积的最大
值；②当体积最大时，底面是什么形状？[aS/16、菱形]
5． 已知三棱锥A －BCD 的体积是V ，棱长BC ＝a ，面ABC 与面DBC 的面积分别是S 1和S 2，
设面ABC 和面DBC 所成的二面角是α，求sin α。

[2
123S S aV ] 6． 三棱锥S －ABC 中，各棱长都是2a ，棱SA 、SB 、SC 和AB 的中点分别为D 、E 、F 和G ，
①求证：平面DEF ⊥平面EFG ；②求V G －DEF 。

[312
2a ] 7． 已知三棱锥P －ABC 中，PA ＝a,PB=b,PC=c,侧棱PA 、PB 、PC 上各点A 1，B 1，C 1且PA 1
＝a 1,PB 1=b 1,PC 1=c 1,求证：1
11111c b a abc V V C B A P ABC P =--。