习题精解
7-1一条无限长直导线在一处弯折成半径为R 的圆弧，如图7.6所示，若已知导线中电流强度为I,试利用比奥—萨伐尔定律求：（1）当圆弧为半圆周时，圆心O 处的磁感应强度；（2）当圆弧为1/4圆周时，圆心O 处的磁感应强度。
解（1）如图7.6所示，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。
因为圆心O 位于直线电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。
根据比奥—萨伐尔定律，半圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 02
4Idl
dB R
μπ=
方向垂直纸面向内。
半圆弧在O 点产生的磁感应强度为 000220
444R
I
Idl I B R R R R
πμμμπππ=
==
⎰
方向垂直纸面向里。
（2）如图7.6（b ）所示，同理，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。
因为圆心O 位于电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。
根据毕奥—萨伐尔定理，1/4圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 02
4Idl
dB R μπ=
方向垂直纸面向内，1/4圆弧电流在O 点产生的磁感应强度为
0002
220
4428R
I
Idl I R B R R R
πμμμπππ=
==⎰
方向垂直纸面向里。
7.2 如图7.7所示，有一被折成直角的无限长直导线有20A 电流，P 点在折线的延长线上，设a 为，试求P 点磁感应强度。
解 P 点的磁感应强度可看作由两段载流直导线AB 和BC 所产生的磁场叠加而成。
AB 段在P 点所产生的磁感应强度为零，BC 段在P 点所产生的磁感应强度为 0120
(cos cos )4I
B r μθθπ=
- 式中120,,2
r a π
θθπ=
== 。
所以
500(cos cos ) 4.010()42
I B T a μπ
ππ=
-=⨯ 方向垂直纸面向里。
7-3 如图7.8所示，用毕奥—萨伐尔定律计算图中O 点的磁感应强度。
解 圆心 O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成， AB 段在P 点所产生的磁感应强度为 ()0120
cos cos 4I
B r μθθπ=
-
式中1200,,26
r r π
θθ==
= ，所以
00cos 0cos 1262I I B r r μμπππ⎛⎛⎫=
-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
方向垂直纸面向里。
同理，DE 段在P 点所产生的磁感应强度为
005cos cos 1262I I B r r μμππππ⎛
⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝
⎭ 圆弧段在P 点所产生的磁感应强度为 2000322
24436I
Idl I B r r r r
π
μμμπππ=
==⎰
O 点总的磁感应强度为
0001231122226I I I
B B B B r r r
μμμππ⎛⎫⎛⎫=++=
-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 方向垂直纸面向里。
7-4 如图7.9所示，两根长直导线沿半径方向接到粗细均匀的铁环上的A 、B 两点，并与很远处的电源相接，试求环中心O 点的磁感应强度。
解 因为O 点在两根长直导线上的延长线上，所以两根长直导线在O 点不产生磁场，设第一段圆弧的长为1l ，电流强度为1I ，电阻为1R ，第二段圆弧长为2l ，电流强度为2I ，电阻为2R ，因为1、2两段圆弧两端电压相等，可得 1122I R I R = 电阻1
R S
ρ
=，而同一铁环的截面积为S 和电阻率是相同的，于是有 1122I l I l =
由于第一段圆弧上的任一线元在O 点所产生的磁感应强度为 0112
4I dl
dB R μπ=
方向垂直纸面向里。
第一段圆弧在O 点所产生的磁感应强度为 1
00111
122
44l I dl I l B R R
μμππ=
=⎰
方向垂直纸面向里。
同理，第二段圆弧在O 点所产生的磁感应强度为 2
00222
222
44l I dl I l B R R μμππ==⎰
方向垂直纸面向外。
铁环在O 点所产生的总磁感应强度为
001122
1222
044I l I l B B B R R μμππ=-=
-=
7-5 在真空中有两根互相平行的截流长直导线1L 和2L ，相距0.1m ，通有方向相反的电流
120I A =,210I A =，如图7.10所示，求12,L L 所决定的平面内位于2L 两侧各距2L 为0.05m
的a,b 两点的磁感应强度为B 。
解 截流长直导线在空间产生磁感应强度为 02I
B x
μπ=
长直导线在a,b 两点产生磁感应强度为 0101
11,20.0520.15
a b I I B B μμππ==
⨯⨯ 方向垂直纸面向里
长直导线2L 在a,b 两点产生的磁感应强度为 0202
22,20.0520.05
a b I I B B μμππ==
⨯⨯ 长直导线2L 在a 点产生磁感应强度为 40102
12 1.210()20.0520.05
a a a I I B B B T μμππ-=+=+=⨯⨯⨯
方向垂直纸面向里
在b 点产生磁感应强度为
50102
12 1.3310()20.1520.05
b b b I I B B B T μμππ-=+=
+=-⨯⨯⨯
方向垂直纸面向外
7-6 如图7.11（a ）所示载流长直导线中的电流为I ，求通过矩形面积CDEF 的磁通量。
解 在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =（如图7.11（b ））截流长直导线的磁场穿过该面
元的磁通量为 0022m I I
d dS ldx x x
μμφππ=
= 通过矩形面积的总磁通量为 0
0ln 22b m a I Il b ldx x a
μμφππ==⎰
7-7 一载流无限长直圆筒，内半径为a ，外半径为b ，传到电流为I ，电流沿轴线方向流动，
并均匀的分布在管的横截面上，求磁感应强度的分布。
解 建立如图7.12所示半径为r 的安培回路，由电流分布的对称性，L 上各点B 值相等，方向沿圆的切线，根据安培环路定理有
cos 2L
L
L
B dl dl B dl B r I θπμ'•====⎰⎰⎰蜒?
可得 02I B r
μπ'
=
其中I '是通过圆周L 内部的电流.。