绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{}52,A x x =-<<{}33,B x x =-<<则AB =（ ）( A ) {}32x x -<< ( B ) {}52x x -<< ( C ) {}33x x -<< ( D ) {}53x x -<< （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） （A ）()()22111x y -+-= （B ）()()22111x y ++-=（C ）()()22112x y +++= （D ）()()22112x y -+-=（3）下列函数中为偶函数的是（ ）（A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x =（C ）ln y x = （D ）2xy -=（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ）（A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计4300（5） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）（A ）3 （B ） 4 (C) 5 (D) 6（6）设,a b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“a //b ”的（ ）（A ） 充分而不必要条件（B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件（D ） 既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）(A) 1 （B ）（B ）(D) 2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

在这段时间，该车每100千米平均耗油量为（ ）加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程（A ）6升 （B ）8升 （C ）10升 （D ）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数()1i i +的实部为．（10）13222,3,log 5-三个数中最大数的是．（11）在ABC ∆中，23,6,,3a b A π==∠=则B ∠= ． （12）已知()2,0是双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点，则b =．（13）如图，ABC ∆及其部的点组成的集合记为D ，(),P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为 ．（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ． ②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是 ．三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知函数()2sin 2x f x x =-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值。

（16）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足124310, 2.a a a a +=-= （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==；问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，商品 顾客人数甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？（18）（本小题14分）如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥,且2AC BC ==,,O M 分别为,AB VA 的中点。

（Ⅰ）求证: VB //平面MOC ;（Ⅱ）求证：平面MOC ⊥平面VAB ; （Ⅲ）求三棱锥V ABC -的体积。

（19）（本小题13分）设函数()2ln ,02x f x k x k =->。

（I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点。

(20)(本小题14分)已知椭圆C ：2233x y +=,过点()0,1D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M 。

（1）求椭圆C 的离心率；（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（III ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由。

. .绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1- （10）2log 5 （11）4π（12 （13）7 （14）乙 数学 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（13分）解：（Ⅰ）()sin f x x x =2sin 3x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期为2π.（Ⅱ）20,3x π≤≤.33x πππ∴≤+≤ 当 3x ππ+= 时，即23x π=时，()f x 取得最小值.所以()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭(16)(共13分)解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 432, 2.a a d -=∴=又121110,210, 4.a a a d a +=∴+=∴=()()421221,2,.n a n n n ∴=+-=+=（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .23328,16,b a b a ====12, 4.q b ∴==61642128.b -∴=⨯=由12822,63.n n =+∴=∴6b 与数列{}n a 的第63项相等.（17）（共13分）解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000= （Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁， 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。

所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。

（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为,O M 分别为,AB VA 的中点， 所以OM VB又因为VB ⊄平面MOC , OM ⊂平面MOC 所以VB平面MOC（Ⅱ）因为AC BC =，O 为AB 的中点， 所以OC AB ⊥.又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 平面VAB 平面ABC AB =所以OC ⊥平面VAB ，又因为OC ⊂平面MOC 所以平面MOC ⊥平面VAB（Ⅲ）在等腰直角ABC ∆中，AC BC ==所以2, 1.AB OC ==所以正VAB ∆的面积VAB S ∆= 又因为OC ⊥平面VAB ，所以13C VAB VAB V OC S -∆=⋅=又因为V ABC C VAB V V --=, 所以3V ABC V -=. (19) (共13分)解：（Ⅰ）由()()2ln 02x f x k x k =-> 所以()f x 的定义域为()0,+∞()2'.k x kf x x x x-=-=令()'0,f x = 解得x =()f x 与()'f x 在区间()0,+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调减区间为(，单调增区间为)+∞；()f x 在x =f=()1ln 2k k -.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间()0,+∞上的最小值为f=()1ln 2k k -. 因为()f x 存在零点，所以()1ln 2k k -0≤，所以k e ≥.① 当k e =时，()f x 在区间(上单调递减，且0f=.所以x =()f x 在区间(上的唯一的零点.② 当k e >时，()f x 在区间(上单调递减，且()110,0.22e kf f -=>=<所以()f x 在区间(上仅有一个零点.综上可知：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点。

(20) (共14分)解：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为22 1.3x y +=所以a =1,b =c =所以椭圆C的离心率3c e a == （Ⅱ）因为直线AB 过点()1,0D 且垂直于x 轴， 所有可设()()111,,1,.A y B y - 直线AE 的方程为()()1112y y x -=--.令3x =， 得()13,2M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行，证明如下：①当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为DE 的斜率101.21DE k -==- 所以BM DE ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为()()11.y k x k =-≠设()()1122,,,,A x y B x y 则直线AE 的方程为()11112.2y y x x --=-- 令3x =， 得点11133,2x y M x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭.由()22331x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得()2222316330.k x k x k +-+-= 所以 212221226313331k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩直线BM 的斜率11212323BMx y y x k x +---=-. 因为()()()()()()()11212121131232132BMx k x k x x x x k x x +---------=-- ()()()()12122112332k x x x x x x --++-⎡⎤⎣⎦=--()()()2222213312133131032k k k k k x x ⎛⎫-+-+- ⎪++⎝⎭==--所以1BM DE k k ==， 所以BM DE 综上所述，直线BM 与直线DE 平行.。