Pd L0dxxθxydEd θ习题1212-3．如习题12-3图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d 的点P 的电场强度。
[解] 建立如图所示坐标系ox ，在带电直导线上距O 点为x 处取电荷元x Lqq d d =，它在P 点产生的电电场强度度为()()x x d L Lq x d L qE d 41d 41d 2020-+=-+=πεπε则整个带电直导线在P 点产生的电电场强度度为()()d L d qx x d L Lq E L+=-+=⎰002041d 41πεπε故()i E d L d q+=04πε12-4．用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R ，其上均匀地带有正电荷Q ，试求圆心处点O 的场强。
[解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl ，带电量l RQ q d d π=dq 在O 点的电场强度20204d 4d d RlR Q R qE πεππε== 从对称性分析，y 方向的电场强度相互抵消，只存在x 方向的电场强度l RQ E E d sin 4sin d d 302x ⋅=⋅=θεπθ θd d R l =θεπθd 4sin d 202x R Q E =2020202x x 2d 4sin d R QR Q E E E επθεπθπ====⎰⎰ 方向沿x 轴正方向 12-5. 如习题12-5图所示，一半径为R 的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，沿轴向单位长度上的带电量为λ，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E 。
[解]θd 对应的无限长直线单位长带的电量为θπλd d =q 它在轴线O 产生的电场强度的大小为RRq E 0202d 2d d επθλπε==因对称性y d E 成对抵消RE E 02x 2d cos cos d d επθθλθ=⋅=d θRR E E 02202x 2d cos 2d επλεπθθλπ===⎰⎰ 12-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心点O 处的场强。
[解] 将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r ，到球心距离为x ，所带电量绝对值l r q d 2d πσ=。
在O 点产生的电场强度(利用圆环轴线电场强度公式)()23220x 4d d rx q x E +=πε带电半球壳在O 点的总电场强度()()⎰⎰⎰+=+==2322023220x x 424d d rx rdlx rx q x E E πεπσπε由于 θcos R x =，θsin R r =，θd d R l = 所以()02002020x 42cos 82d 2sin 8d cos sin 2εσθεσθθεσθθθεσπππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅==⎰⎰E E 方向沿x 轴负向12-7．如习题12-7图所示，A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为E 0，两平面外侧电场强度大小都是03E ，方向如图。
求两平面A 、B 上的面电荷密度σA 和σB 。
[解] 无限大平面产生的电场强度为02εσ=E 则 0A A 2εσ=E 0B B 2εσ=E ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-322220A 0B 0A 0B E E εσεσεσεσ 解得 00A 32E εσ-= 00B 34E εσ=12-8．一半径为R 的带电球体，其体电荷密度分布为ρ=Ar (r ≤R )，0=ρ (r >R )，A 为常量。
试求球内、外的场强分布。
[解] 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。
应用高斯定理有024επqr E =⋅q 为高斯球面内所包围的电量。
设距球心r 处厚度为d r 的薄球壳所带电量为d qr Ar r r q d 4d 4d 32ππρ=⋅=r ≤R 时 403d 4Ar r Ar q rππ==⎰解得 024εAr E = (r ≤R ) (或24Ar ε=r E e )r >R 时高斯面内包围的是带电体的总电量Q4030d 4d AR r Ar q Q RR ππ===⎰⎰应用高斯定理024επQr E =⋅2044r AR E ε= (r >R ) (或r E 2044r AR ε=) 当A >0时，电场强度方向均径向向外；当A <0时，电场强度方向均指向球心。
12-9．有一带电球壳，内、外半径分别为R 1和R 2，体电荷密度r A =ρ，在球心处有一点电荷Q ，求当A 取什么值时，球壳区域内(R 1<r< R 2)的场强E 的大小与r 无关。
[解] 以同心球面为高斯面，电通量为24d επ∑⎰⎰==⋅q E rS S E()Q R r A Q dr r q rR +-=+=⎰⎰⎰∑21220202d sin d 1πθθϕππ()2021242r QR r A E πεπ+-=当212R Q A π=时 02εAE =与r 无关。
因此得证。
12-10．一球体内均匀分布着体电荷密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离OO d '=，如习题12-10图所示。
求：(1)在球形空腔内，球心O '处的电场强度O 'E ；(2)在球体内点P 处的电场强度E 。
设O '、O 、P 三点在同一直径上，且OP =d 。
[解] 在空腔内分别填上密度为ρ+的电荷和密度为ρ-的电荷。
(1) O '处的电场强度是密度为ρ的大球和ρ-的小球所产生的电场强度的叠加。
大球产生电场强度：在球体内做半径为d 的同心高斯球面，应用高斯定理32344επρπd d E ⋅=⋅ 03ερd E = 习题12-10图ρO• r Pxd O '而小球产生电场强度由于对称性为0 因此O '点的电场强度 i E 0O 3ερd=' (2)P 点的电场强度也是两球电场强度的叠加。
同理大球产生的电场强度 i E 03ερd-= 小球产生的电场强度 0323444επρπr d E =⋅' i E 20312d r ερ=' 合电场强度 i i E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2302030P 43123d r d d r d ερερερ12-11．一半径为R 的带电球体，其体电荷密度分布为 4R qr πρ=(r ≤R )0=ρ (r >R )试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内外各点的场强；(3)球内外各点的电势。
[解] （1）带点球体的总电量：q r r Rqrq Q RR===⎰⎰24d 4d ππ （2）在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。
应用高斯定理有024επ内q r E =⋅内q 为高斯球面内所包围的电量。
设距球心r 处厚度为d r 的薄球壳所带电量为d qr r R qr r q d 4d 4d 342=⋅=πρ r ≤R 时 44034d 4r R qr r R q q r ==⎰内解得 4024R qr E πε= (r ≤R ) (或2404qr R πε=r E e )r >R 时高斯面内包围的是带电体的总电量q 应用高斯定理024επqr E =⋅204rq E πε=(r >R ) 方向沿径向 (或204q rπε=r E e )当q >0时，电场强度方向均径向向外；当q<0时，电场强度方向均指向球心。
（3）)( 412)( d 4d 4d 330 R 20 402 R r R r R qR r r r q r R qr r E U Rrr≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=>+==⎰⎰⎰∞∞πεπεπε)( 4)( d 4d 0 r20 R r rq R r r r q r E U r>=>==⎰⎰∞∞πεπε12-12．如习题12-12图所示，在Oxy 平面内有与y 轴平行、位于2a x =和a x 21-=处的两条无限长平行均匀带电直线，电荷线密度分别为+λ和-λ。
求z 轴上任一点的电场强度。
[解] 无限长带电直线在线外任一点的电电场强度度rE 02πελ=所以 P 点的电场强度 21220λ42⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+z a E πελ21220λ42⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-z a E πελ由对称性知合电场强度的z 方向分量为零，x 方向分量θcos 2λx E E =而 212242cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=z a a θ所以 ()220λ42cos 2z a a E E +==πελθ 方向指向x 轴负方向12-13．如习题12-13图所示，在半径为R ，体电荷密度为ρ的均匀带电球体内点O '处放一个点电荷q 。
试求：点O 、P 、N 、M 处的场强 (O '、O 、P 、N 、M 在一条直线上)。
[解] 由电场叠加原理2O O 0q O 4'=+=r q E E E πε球E -λ-λa/2xyz -a/2O+λPE xE +λ20OO 4qr πε'=O E i0OM 2N O 02ON 03OM2N O 0q N 344344ερπεπεπρπεr r qr r r q E E E -=-=-=''球OM 20O N 0()43r qr ρπεε'=-N E i 0OP 2P O 02OP 03OP2P O 0q P 344344ερπεπεπρπεr r qr r r q E E E -=-=+=''球OPP 20O P()43r qr ρπεε'=-E i 2OM032N O 02OM 032M O 0q M 344344r R r q r R r q E E E ερπεπεπρπε-=+=+=''球3M 220O N 0OM()43q R r r ρπεε'=-E i 12-14．如习题12-14图所示一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径R ，内半径为R/2，并有电量Q 均匀分布在环面上。
细绳长3R ，也有电量Q 均匀分布在绳上，试求圆环中心处的电场强度（圆环中心在细绳的延长线上）。
【解】：以悬点为坐标原点，建立竖直向下为x 轴的正方向，在x 位置处任取一微元dx ，在圆环中处的电场强度为()()122001d 1d d 44434qQE x R x R R x πεπε==--则这个细绳上的电荷在圆心处产生的电场强度为()3320011d 412434RRQQE x R R x R R x πεπε==---⎰32000112416RQQR R x R πεπε=-=-环形薄片上的电荷在圆心处产生的电场强度为零，因此所有电荷在环心处产生的电场强度为20=16Q E Rπε总方向竖直向下12-15．电量q 均匀分布在长为2l 的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a 的点P 的电势(以无穷远为R3R2/R零电势点)。