单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
应变能：
Ve
D
FdD
0
D EA D 3 d D 0 l
1 4
EA
D4 l3
1 FD 4
二、余能
非线性弹性体
外力做功：
W D1 F d D 0
余功： Wc
F1 D d F
0
余能：
Vc Wc
l M 2(x) d x 0 2EI
l
0 s
FS2 (x) d x 2GA
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1
s e
e de e1
外力作功： W
D1 F d D
0
应变能：
Ve
W
D1 F d D
0
取单位长单元体 F s (11) D e 1
② 在线弹性范围内，应变能是广义力或广 义位移的二次函数，应变能的计算不能用叠加 原理。
验证
M
F
A
A DC
0.5 l
l
① F、M 同
B 时按比例由零逐 渐增加到最终值
DC
Fl 3 48 EI
Ml 2 16 EI
A
Fl 2 16 EI
Ml 3EI
应变能：
Vε
1 2
FDC
1 2
M A
1 ( F 2l3 M 2l MFl 2 ) EI 96 6 16
Fi
Ve Di
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Fi
Ve Di
Fi ：广义力
对应
Di ：广义位移
卡氏第一定理的适用范围： 一切受力状态下的弹性体
线性弹性体 非线性弹性体
广义位移 线位移 角位移
相对线位移
相对角位移
广义力 集中力 集中力偶 一对集中力
(等量、反向)
一对集中力偶
(等量、反向)
广义力的量纲与广义位移的量纲的乘积 为功的量纲
若广义力为分布力，则广义位移为 ？
例1：图示悬臂梁，长为 l，弯曲刚度为 EI，
在自由端作用一力偶矩 Me，若已知自由端的转角
，梁材料为线弹性，试求力偶矩 Me。
EI l
Me
P62 例3-7
EI l
Me
纯弯曲
x
横截面上只有弯矩 M
M＝Me
di
i 1
加载过程中力 和位移的瞬时值
Vε (D1, D2 , , Di , , Dn )
Vε Vε (D1, D2 , , Di , , Dn )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi
其它位移均保持不变
梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量 dW Fi d Di
dVe
Ve Di
d Di
dVe dW
第十三章 能 量 法
◆ 概述 ◆ 应变能·余能 ◆ 卡氏定理 ◆ 用能量法解超静定系统 ◆ 虚位移原理及单位力法
§3-1 概 述
利用功和能的概念求解可变形固体的位移、
变形和内力等的方法
能量法
能量法是固体力学的重要原理，它不仅可用 于分析构件或结构的位移与应力，还可用于分析 与变形有关的其它问题。
本章主要介绍用能量法计算杆或简单杆系的 位移或变形。
§3-2 应变能·余能
一、应变能
弹性体
F
F1
W
1 2
F1 Δ1
O D1 D
线性弹性体 (线弹性体)
A F
F1
B
D1
F1
W
D1 0
F1
d
D
O D1 D
非线性弹性体
在线弹性范围内
杆轴向 拉压
Vε
1 2
F
Δl
FN2l 2EA
Me
圆轴扭转
Vε
1 2
M
e
T 2l 2GIp
梁平面弯曲
VεM
l
M 2(x) d x 2EI
( F 2l3 96
M 2l ) 6
Vε
例1：完全相同的两根杆原位于水平位置，杆 长均为l，截面面积均为A，弹性模量均为E，且均 为线弹性的。在结点 B承受铅垂荷载 F，试求力 F 与结点B铅垂位移 D 间的关系及杆系的应变能。
l
l
D B
F
P57 例3-3
l
l
B
FN B
FN
C
D
D
F
B
2FN sin F 0
1
1 2
G
2 1
1 2G
12
线弹性体的应变能一般算式
各外力按同一比例
由零逐渐增加至最终值
Di 为外力Fi 作用点
沿Fi 作用方向的位移
1
1
1
Vε W 2 F1D1 2 F2D2 2 FnDn
1 2
n i 1
Fi D i
克拉贝依隆原理
Fi ：广义力 Di ：广义位移
注意
① 应变能的大小由各力的最终值决定，与 外力作用的先后次序无关。
F1 D d F
0
W Wc F1D1
线弹性体
Vc
Vε
Vc V vc dV
余能密度：
vc
s1 e ds
0
§3-3 卡氏定理
一、卡氏第一定理
梁：非线性弹性材料
外力：F1、F2 … Fn
设外力按比例同 时由零增加到最终值
位移：D1、D2 … Dn
梁的应变能： Ve W n
Di 0
fi
② 先加F，后加M
M
F
A
DCF
B
AM DCM
DCF
Fl 3 48 EI
DCM
Ml 2 16 EI
AM
Ml 3EI
应变能：
Vε
1 2
FDCF
(FDCM
1 2
M
AM
)
1
F 2l3 (
M
2l
MFl
2
)
EI 96 6 16
③ 先加M，后加F
A M AM F
B
AM
Ml 3EI
AF DCF
DCF
Fl 3 48 EI
FN
F
2 sin
F
变形后杆长为： l Dl (1 FN )l EA
在三角形BCD中：
Dl FNl EA
D (l Dl)2 l2 2lDl Dl2 2lDl l 2FN EA
小变形 sin tan D
l
F
EA
D
3
l
F
EA
D
3
C
l
力F 与变形 D 不是线性关系
l
l
D
DBLeabharlann F