天津市蓟县一中2013高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的乘除运算将复数+（1+2i）2转化为a+bi（a，b∈R），即可．解答：解：∵==，（1+2i）2=1﹣4+4i=﹣3+4i，∴+（1+2i）2=（﹣3）+（+4）i=﹣+i，∴复数+（1+2i）2对应的点位于第二象限，故选B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．2．（4分）（2012•青岛二模）已知函数，则的值是（）A．5B．3C．﹣1 D．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：本题是分段函数求值，首先弄清f（x）在不同区间有不同对应法则，找准对应区间代入计算即可．解答：解：∵f（1）=log21=0，∴f（f（1））=f（0）=3﹣0+1=2，又∵，∴=+1=+1=2+1=3，∴=2+3=5．故选A．点评：本题考查分段函数求值问题，关键由自变量找对应区间，由内到外逐一确定适用区间，即可利用相应对应法则求值．3．（4分）（2012•九江一模）已知函数，则该函数是（）A．非奇非偶函数，且单调递增B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减考点：奇偶性与单调性的综合．专题：证明题．分析：由题意，根据题设条件及选项可判断出，可先由定义判断函数的奇偶性，再由函数的单调性的判断方法判断出函数是一个增函数，由此可以判断出正确选项解答：解：此函数的定义域是R当x≥0时，有f（x）+f（﹣x）=1﹣2﹣x+2﹣x﹣1=0当x＜0时，有f（x）+f（﹣x）=1﹣2x+2x﹣1=0由上证知，此函数是一个奇函数，又x≥0时，函数1﹣2﹣x是一个增函数，最小值是0；x≤0时，函数2x﹣1是一个增函数，最大值为0，所以函数函数在定义域上是增函数综上，函数在定义域上是增函数，且是奇函数故选C点评：本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握函数奇偶性判断方法与函数单调性的判断方法是解题的关键．4．（4分）（2012•湘潭三模）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．分析：A先写出逆命题再利用不等式性质判断；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可；D应为必要不充分条件．解答：A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选B．点评：本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广．5．（4分）（2011•天津模拟）若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；压轴题．分析：几何体是一个简单的组合体，上面是一个圆柱，圆柱的底面直径是1.6，高是2，下面是一个六棱柱，棱柱的高是1.5，底面的边长是2，根据圆柱和棱柱的体积公式得到两个几何体的体积，再相加得到结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，上面是一个圆柱，圆柱的底面直径是1.6，高是2，∴圆柱的体积是π×0.82×2=，下面是一个六棱柱，棱柱的高是1.5，底面的边长是2，∴六棱柱的体积是=，∴组合体的体积是，故选C．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原简单的组合体，考查圆柱和圆锥的体积，本题是一个基础题．6．（4分）（2012•韶关一模）如图所示的流程图中，输出的结果是（）A．5B．20 C．60 D．120考点：程序框图．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：循环前得到结果为S=5×1=5，a=5﹣1=4，此时满足判断框的条件第1次循环：S=5×4=20，a=4﹣1=3，继续循环；第2次循环：S=20×3=60，a=3﹣1=2，继续循环；第3次循环：S=60×2=120，a=2﹣1=1，此时不满足判断框的条件，执行输出S，即输出120．故选D．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时；常采用写出前几次循环的结果，找规律．7．（4分）已知p：|x+1|＞2，q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围可以是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3考点：四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：因为“若￢p则￢q”的等价命题是“若q则p”，所以q是p的充分不必要条件，即q是p的真子集，然后解不等式|x+1|＞2，利用数轴求解即可．解答：解：由题意知：p：|x+1|＞2可化简为{x|x＜﹣3或x＞1}；q：x＞a∵“若￢p则￢q”的等价命题是“若q则p”，∴q是p的充分不必要条件，即q⊊p∴a≥1故选A点评：本题主要考查四种命题的等价关系，及解绝对值不等式，属基础知识、运算能力的考查．8．（4分）设函数f（x）=，若f（|x|+|3﹣x|）＞f（4），则x的取值范围是（）D．A．B．C．（考点：函数单调性的性质；函数的图象．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先确定|x|+|3﹣x|≥3，再求得x≥3时，函数为减函数，进而可得具体不等式，即可求x的取值范围．解答：解：∵|x|+|3﹣x|=，∴|x|+|3﹣x|≥3∵|x|＞1，f（x）=，∴x≥3时，f′（x）=＜0，∴x≥3时，函数为减函数∵f（|x|+|3﹣x|）＞f（4），∴|x|+|3﹣x|＜4，∴或0＜x＜3或∴﹣故选A．点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，具体的关键是确定函数的单调性，属于中档题．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分24分）9．（4分）（2009•宝山区一模）已知二项式展开式的前三项系数成等差数列，则a=2或14．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出a即可．解答：解：解：展开式的通项为T r+1=c8r x n﹣r=．前三项的系数为1，，．∴2×=1+⇒a2﹣16a+28=0，解得a=2，a=14．故答案为：2或14．点评：本题主要考查二项式系数的性质．解决此类问题时需注意二项式系数与项的系数是不同的避免出错．10．（4分）（2010•天津模拟）集合A={x||2x﹣1|＞1}，集合B={y|y=|log a x|，x∈[m，n]，a＞1}，若B=C R A且n﹣m的最小值为，则a=2．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：先化简求出集合A，然后根据补集的概念求出集合B，然后根据集合B是y=|log a x|，x∈[m，n]的值域，以及n﹣m的最小值为即可求出m和n，从而建立关于a的等式，解之即可．解答：解：A={x||2x﹣1|＞1}={x|x＞1或x＜0}B=C R A={x|0≤x≤1}∵{x|0≤x≤1}是y=|log a x|，x∈[m，n]的值域而n﹣m的最小值为∴n=1，m=∴|log a\frac{1}{2}|=1而a＞1则a=2故答案为：2点评：本题主要一绝对值不等式和对数函数为平台，求解补集和值域的基础题，也是常考的题型．11．（4分）以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=．考点：平行线分线段成比例定理．专题：计算题．分析：利用条件，可以证明EB=ED=EC，再利用三角形的中位线，即可求得OE的长．解答：解：由题意，连接OD，BD，则OD⊥ED，BD⊥AD∵OB=OD，OE=OE∴Rt△EBO≌Rt△EDO∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB又∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°∴∠C=∠EDC，∴ED=EC∴EB=EC∵O是AB的中点，∴∵直角边BC=3，AB=4，∴AC=5∴OE=故答案为：点评：本题考查圆的切线的性质，考查圆的性质，考查三角形中位线的性质，属于基础题．12．（4分）在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的动点，则|PA|的最大值为．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，利用两点间的距离公式求出CA的值，则CA加上圆的半径，即为所求．解答：解：∵点A的极坐标是（1，π），∴点A的直角坐标是（﹣1，0），曲线C：ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1，表示以C（0，1）为圆心，以1为半径的圆．由|CA|==，∴|PA|的最大值为+1，故答案为．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两点间的距离公式的应用，属于基础题．13．（4分）已知函数在区间上为单调增函数则实数a的取值范围2﹣2≤a＜．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：用复合函数的单调性来求解，令g（x）=x2﹣ax﹣a．由“f（x）=log g（x）在上为增函数”，可知g（x）应在上为减函数且g（x）＞0在上恒成立．再用“对称轴在区间的右侧，且最小值大于零”求解可得结果．解答：解：令g（x）=x2﹣ax﹣a．∵f（x）=log g（x）在上为增函数，∴g（x）应在上为减函数且g（x）＞0在上恒成立．因此，．解得2﹣2≤a＜，故实数a的取值范围是2﹣2≤a＜．故答案为：2﹣2≤a＜．点评：本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用．14．（4分）设f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，若f（3）=5，且当x∈（﹣∞，﹣a）∪（a，+∞），a＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是a≥3．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：构造函数g（x）=xf（x），确定函数g（x）在x∈（0，+∞）上为单调递增函数，且函数为偶函数，求出不等式的解集，即可得到结论．解答：解：构造函数g（x）=xf（x），因为当x＞0时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，所以函数g（x）在x∈（0，+∞）上为单调递增函数；所以不等式等价于|xf（x）|＞15，即g（x）＞15或g（x）＜﹣15当x＞3时，g（x）＞g（3）=3f（3）=3×5=15又g（x）＞g（0）=0，所以g（x）＜﹣15这种情况不存在，不考虑因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）所以g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），所以g（x）是偶函数故xf（x）＞15的解集为x∈（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）要使x∈（﹣∞，﹣a）∪（a，+∞），a＞0时，不等式恒成立，只需a≥3故答案为：a≥3点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查解不等式，属于中档题．15．（1）设函数f（x）=x2﹣1，对任意恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）函数f（x）=，若方程f（x）=x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围是（﹣∞，1]．考点：一元二次不等式的应用．专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：（1）将函数代入，再化简并分离参数，确定函数的最值，即可求得m的取值范围；（2）在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．解答：解：（1）把f（x）=x2﹣1代入，﹣1﹣4m2（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4（m2﹣1）化简分离参数，由x∈[，+∞）可得﹣4m2≤﹣﹣+1令y=﹣﹣+1，由x∈[，+∞）可得函数在由x∈[，+∞）上单调递增，所以x=时，y 取得最小值为﹣所以得﹣4m2≤﹣整理得：12m4﹣5m2﹣3≥0所以（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，所以4m2﹣3≥0即m∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；（2）函数f（x）=的图象如图所示，当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根．故答案为：（1）（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；（2）（﹣∞，1]点评：本题考查恒成立问题，考查方程根的研究，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三．解答题，共80分16．（10分）集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当A中的元素x∈Z时，求A的非空真子集的个数；（3）当x∈R时，若A∩B=∅，求实数m的取值范围．考点：交集及其运算；元素与集合关系的判断；子集与真子集．专题：计算题．分析：（1）若B⊆A，求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．（2）需要知道集合中元素的具体个数，然后套用子集个数公式：2n．（3）根据题意，需要进行分类讨论，当B=φ和B≠φ时，然后列出关系式即可求出结果．解答：解：（1））①当B为空集时，得m+1＞2m﹣1，则m＜2②当B不为空集时，m+1≤2m﹣1，得m≥2由B⊆A可得m+1≥﹣2且2m﹣1≤5得2≤m≤3故实数m的取值范围为m≤3（2）当x∈Z时，A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}求A的非空真子集的个数，即不包括空集和集合本身，所以A的非空真子集个数为28﹣2=254（3）因为x∈R，且A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，则①若B=∅，即m+1＞2m﹣1，得m＜2时满足条件；②若B≠∅，则要满足的条件是m+1≤2m﹣1且m+1＞5或m+1≤2m﹣1且2m﹣1＜﹣2，解得m＞4．综上，有m＜2或m＞4．点评：若B⊆A，需要注意集合B能否是空集，必要时要进行讨论；当一个集合里元素个数为n个时，其子集个数为：2n，真子集个数为：2n﹣1．17．（10分）已知函数f （x ）的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f （x 1•x 2）=f （x 1）+f （x 2），且当x ＞1时f （x ）＞0，f （2）=1． （1）求证：f （x ）是偶函数；（2）f （x ）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f （2x 2﹣1）＜2．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断． 专题：综合题；转化思想． 分析： （1）根据题意和式子的特点，先令x 1=x 2=﹣1求出f （﹣1）=0，再令x 1=﹣1，x 2=x 求出f （﹣x ）=f （x ），则证出此函数为偶函数；（2）先任取x 2＞x 1＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用x 2=和且＞0，判断符号并得出结论；（3）根据题意和（1）的结论，把不等式转化为f （|2x 2﹣1|）＜f （4），再由（2）的结论知|2x 2﹣1|＜4，故解此不等式即可．解答： 解：（1）由题意知，对定义域内的任意x 1，x 2都有f （x 1•x 2）=f （x 1）+f （x 2）， 令x 1=x 2=﹣1，代入上式解得f （﹣1）=0，令x 1=﹣1，x 2=x 代入上式，∴f （﹣x ）=f （﹣1•x ）=f （﹣1）+f （x ）=f （x ），∴f （x ）是偶函数． （2）设x 2＞x 1＞0，则=∵x 2＞x 1＞0，∴，∴＞0，即f （x 2）﹣f （x 1）＞0，∴f （x 2）＞f （x 1） ∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数． （3）∵f （2）=1，∴f （4）=f （2）+f （2）=2，∵f （x ）是偶函数，∴不等式f （2x 2﹣1）＜2可化为f （|2x 2﹣1|）＜f （4），又∵函数在（0，+∞）上是增函数，，∴|2x 2﹣1|＜4，且2x 2﹣1≠0， 即﹣4＜2x 2﹣1＜4，且2x 2≠1解得：，且x ≠，即不等式的解集为．点评：本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，反复给x 1和x 2值利用给出恒等式，注意条件的利用；求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系，进而由函数的单调性转化为自变量的大小，易错点忽略定义域．18．（10分）（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由于A=B++，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=由于A=B++根据事件的独立性和互斥性得P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P（）+P（）P（）P（D）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5根据事件的对立性和互斥性得P（X=0）=P（）=（1﹣）×（1﹣）×=P（X=1）=P（B）=×（1﹣）×（1﹣）=P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=P（X=3）=P（BC）+P（B D）=××（1﹣）+×（1﹣）×=P（X=4）=P（）=（1﹣）××=P（X=5）=P（BCD）=××=故X的分布列为X 0 1 2 3 4 5P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及分布列和事件的对立性和互斥性，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题．19．（10分）（2011•天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；综合题．分析：（I）（i）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，事件数是C52C32，摸出3个白球事件数为C32C21C21；由古典概型公式，代入数据得到结果，（ii）获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．解答：解：（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A i（i=，0，1，2，3），则P（A3）=，（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=，且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=；（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣）2=，P（X=1）=C21（1﹣）=，P（X=2）=（）2=，所以X的分布列是X的数学期望E（X）=0×．点评：此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）（2008•江苏二模）已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）e x．（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；（3）当m=0时，求证：f（x）≥x2+x3．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；分类讨论．分析：（1）若函数没有零点，则对应的方程（x2+mx+m）e x=0没有实根，根据指数的性质，我们易将问题转化为二次方程根的个数判断问题，由此列出关于m的不等式，解不等式即可得到答案．（2）求出函数的导函数，由于其表达式中含有参数m，故可对m的取值进行分类讨论，综合讨论过程即可得到答案．（3）当m=0时，f（x）=x2e x，构造函数ϕ（x）=e x﹣1﹣x，求出函数的导函数后，我们易判断出函数的单调区间及最小值，若最小值大于等于0即可得到结论．解答：解：（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•e x=0，所以x2+mx+m=0．因为函数f（x）没有零点，所以△=m2﹣4m＜0，所以0＜m＜4．（4分）（2）f'（x）=（2x+m）e x+（x2+mx+m）e x=（x+2）（x+m）e x，令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m，当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表：x （﹣∞，﹣m）﹣m （﹣m，﹣2）﹣2 （﹣2，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗me﹣m↘（4﹣m）e﹣2↗当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣m．（6分）当m=2时，f'（x）=（x+2）2e x≥0，f（x）在R上为增函数，所以f（x）无极大值．（7分）当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，﹣m）﹣m （﹣m，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗（4﹣m）e﹣2↘me﹣m↗当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣2，（9分）所以（10分）（3）当m=0时，f（x）=x2e x，令ϕ（x）=e x﹣1﹣x，则ϕ'（x）=e x﹣1，当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．（13分）所以φ（x）≥φ（0）=0，e x﹣1﹣x≥0，所以e x≥1+x，因此x2e x≥x2+x3，即f（x）≥x2+x3．（16分）点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．21．（12分）已知函数（1）若a=﹣4，求函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）记函数g（x）=x2f′（x），若g（x）的最小值是，求f（x）的解析式．考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的综合应用．分析：（1）将a=﹣4代入函数的解析式，先求函数的定义域，求出函数的导函数，分析导函数符号在不同区间上的取值，根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系可得结论；（2）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥在[1，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=并求出其最小值，可得实数a的取值范围；（3）g（x）=x2f′（x）=2x3+ax﹣2的最小值是，由此构造关于a的方程，解方程求出a值，可得f（x）的解析式．解答：解：（1）当a=﹣4时，，（x＞0）==令f′（x）=0，则x=∵x∈（0，）时，f′（x）＜0，∵当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴（0，）为函数的单调递减区间，∴（，+∞）为函数的单调递增区间；（2）∵f′（x）=若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立即2x3+ax﹣2≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥在[1，+∞）上恒成立令h（x）=，则h′（x）=＜0恒成立故h（x）=在[1，+∞）上单调递减当x=1时，h（x）取最大值0故a≥0，即实数a的取值范围为[0，+∞）（3）g（x）=x2f′（x）=2x3+ax﹣2则g′（x）=6x2+a，当a≥0时，g′（x）≥0恒成立此时g（x）在定义域（0，+∞）上无最小值当a＜0时，令g′（x）=6x2+a=0则x=∵x∈（0，）时，f′（x）＜0，∵当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴（0，）为函数g（x）的单调递减区间，∴（，+∞）为函数g（x）的单调递增区间；当x=时，g（x）的最小值g（）==，解得a=﹣∴点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数解析式的求解及常用方法，其中熟练掌握导函数符号与原函数的单调性之间的关系，并又此分析函数的单调区间和极值点是解答的关键．。