65． 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，求：它们在O 点的磁感应强度。

1 RIB 80μ=方向 垂直纸面向外2 R I R I B πμμ2200-= 方向 垂直纸面向里 3 RI R I B 4200μπμ+= 方向 垂直纸面向外 66． 一半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为σ，该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转。

试求圆筒内部的磁感应强度。

解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度i ， σωσωR R i =ππ=)2/(2作矩形有向闭合环路如图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在ab 上各点B的大小和方向均相同，而且B 的方向平行于ab ，在bc 和fa 上各点B的方向与线元垂直，在de , cd fe ,上各点0=B．应用安培环路定理∑⎰⋅=I l B 0d μ 可得 ab i ab B 0μ= σωμμR i B 00==圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为σωμR B 0=，方向平行于轴线朝右．i ω σc deab f67．在半径为R 的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r 的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为a （如图）。

今在此导体内通以电流I ，电流在截面上均匀分布，求：空心部分轴线上O ' 点的磁感应强度的大小。

解：)(22r R IJ -=π10121r k J B ⨯=μ 20221r k J B ⨯-=μj Ja O O k J r r k J B B B 021********21)(21μμμ=⨯=-⨯=+=j r R IaB )(2220-=πμ68．一无限长圆柱形铜导体,半径为R ,通以均匀分布的I 今取一矩形平面S （长为L ，宽为2R ），位置如图，求：通过该矩形平面的磁通量。

解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小，由安培环路定律可得：)(220R r r R IB ≤π=μ因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通Φ1为⎰⎰⋅==S B S B d d 1 Φr rL R I Rd 2020⎰π=μπ=40LIμ在圆形导体外，与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为 )(20R r rIB >π=μ因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通Φ2为⎰⋅=S B d 2Φr r IL R Rd 220⎰π=μ2ln 20π=ILμ穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40LIμ2ln 20π+ILμ69．如图所示，载有电流I 1和I 2的无限长直导线相互平行，相距3r ，今有载有电流I 3的导线MN = r 水平放置，其两端M 、N 分别与I 1、I 2距离均为r ，三导线共面，求：导线MN 所受的磁场力的大小与方向。

解：载流导线MN 上任一点处的磁感强度大小为：)(210x r I B +π=μ)2(220x r I -π-μMN 上电流元I 3d x 所受磁力： x B I F d d 3=)(2[103x r I I +π=μx x r I d ])2(210-π-μ ⎰-π-+π=rx x r I x r I I F 020103d ])2(2)(2[μμ-+π=⎰rx x r I I 0130d [2μ]d 202⎰-rx x r I]2ln 2ln[22130rrI r r I I +π=μ ]2ln 2ln [22130I I I-π=μ2ln )(22130I I I-π=μ若 12I I >，则F 的方向向下，12I I <，则F的方向向上70．一线圈由半径为0.2m 的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流2A ，把它放在磁感应强度为0.5T 的垂直纸面向里的均匀磁场中，求(1)线圈平面与磁场垂直时，圆弧AB 所受的力；(2)线圈正法线方向和磁场成30°时，线圈所受的磁力矩。

解：(1) 圆弧AC 所受的磁力：在均匀磁场中AC 通电圆弧所受的磁力与通有相同电流的AC 直线所受的磁力相等，故有F AC =283.02==RB I F AC N 方向：与AC 直线垂直，与OC 夹角45°，如图．(2) 磁力矩：线圈的磁矩为 n n IS p m2102-⨯π==本小问中设线圈平面与B 成60°角，则m p与B 成30°角，有力矩 ︒=⨯=30sin B p B p M m mM =1.57×10-2N ·m 方向：力矩M 将驱使线圈法线转向与B平行.71．有一无限大平面导体薄板，自上而下通有电流。

已知其电流面密度为i 。

（1）试求：板外空间任一点的磁感应强度；（2）有一质量为m 、带电量为q （q>0）的粒子，以速度v 沿平板法线方向向外运动，求：带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞，需经多长时间才能回到初始位置？解：(1) 由安培环路定理： i B 021μ=(大小) 方向：在板右侧垂直纸面向里 (2) 由洛伦兹力公式可求 )/(qB m R v = (至少从距板R 处开始向外运动)返回时间 )/(4/20i q m R T μπ=π=v72．如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖半个球面，设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I 。

求：球心O 处的磁感应强度。

解：坐标选取如图：xnIdl dI = 其中RNn π2= θRd dl = 2/32220)(2r x dIr dB +=μθθμπd n B ⎰=20202cos =RNI 40μ 方向沿x 轴正向73．一电子以速度 v 垂直地进入磁感应强度为B 的均匀磁场中（如图）。

求：此电子在磁场中运动轨道所围的面积内的磁通量示多少？解： ∵ 半径 eB m R e v =， ∴ eRm B e v= 磁通量 e R m R B BS Φe /2v π=π⋅==74．一半径为R =1.0cm 的无限长1/4圆柱形金属薄片，沿轴向通以电流I =10.0A 的电流，设电流在金属片上均匀分布，试求：圆柱轴线上任意一点P 的磁感应强度。

解：取d l 段，其中电流为 π=π=π21=θθd 2d 2d d I R IR R l I I 在P 点 θμθμμd d 222d d 2000RII R R I B π=π⋅π=π= 选坐标如图 R I B x 20d sin d π-=θθμ, RI B y20d cos d π-=θθμ⎰ππ-=2/020d sin θθμR IB x R I20π-=μ ⎰ππ-=2/020d cos θθμRIB y RI20π-=μ =+=2/122)(y x B B B =πRI 202μ 1.8×10-4T 方向 1/tg ==x y B B α， α =225°，α为 B与x 轴正向的夹角．75．一半径为 R 的圆筒形导体通以电流I ，筒壁很薄，可视为无限长，筒外有一层厚为d ，磁导率为 μ 的均匀顺磁性介质，介质外为真空。

画出此磁场的H — r 曲线及B — r 曲线（要求：在图上标明各曲线端点的坐标及所代表的函数值）0H R r =<时，当rIR d r R π2H =+<<时，当rI R d r π2H =+>时，当0B =<时，当R rrIR d r R πμμ2B 0=+<<时，当rI R d r πμ2B 0=+>时，当76．螺绕环中心周长l=30cm ，横截面S=1.0cm 2，环上紧密地绕有N=300匝的线圈。

当导线中电流I=32mA ，通过环截面的磁通量Φ=2.0⨯10-6Wb ，求：铁芯的磁化率χm 。

解： B = Φ /S=2.0×10-2 T===l NI nI H /32 A/m==H B /μ 6.25×10-4 T ·m/A =-=1/0μμχm 49677．均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω 角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．求：(1) O 点的磁感强度0B ；(2) 系统的磁矩m p；(3) 若a >>b ，求B 0及p m ．1dr dq λ=dr T dq dI πλω2==rdr r dIdB ⋅==πλωμμ4200ab a rdr dB B ba a+===⎰⎰+ln4400πλωμπλωμ方向 垂直纸面向里2dr r dI r dP m2221λωπ==[]6)(21332a b a dr r dP P ba am m -+===⎰⎰+λωλω3aba b a b a ≈+>>ln,则若aqa b B πωμλπωμ44000=⋅=)31(,33aba b a b a +≈+>>）则（同理 232136a q a b a P m ωλω==78．如图所示,两个共面的带动圆环,其内外径分别为R 1、R 2和R 2、R 3，外面的圆环以每秒钟n 2转顺时针转动，里面的圆环一每秒钟n 1转的转速反时针转动，若二者电荷面密度均为σ，求：n 1和n 2的比值多大时，圆心处磁感应强度为零。

解：(1) 在内圆环上取半径为r 宽度为d r 的细圆环，其电荷为σr r q d 2d π= 由于转动而形成的电流 r rn q n i d 2d d 11σπ== d i 在O 点产生的磁感强度为 r n r i B d )2/(d d 1001σμμπ== 其方向垂直纸面向外．(2) 整个内圆环在O 点产生的磁感强度为==⎰11d B B ⎰π21d 10R R r n σμ)(121R R n -π=0σμ其方向垂直纸面向外．(3) 同理得外圆环在O 点产生的磁感强度 )(23203R R n B -π=σμ 其方向垂直纸面向里． (4) 为使O 点的磁感应强度为零，B 1和B 2的量值必须相等， 即 )(121R R n -π0σμ)(232R R n -π=0σμ 于是求得n 1和n 2之比122312R R R R n n --= 79．两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈相距x ，且R >>r ，x >>R ．若大线圈通有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速率v 运动，试求x =NR 时(N 为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小．答：由题意，大线圈中的电流I 在小线圈回路处产生的磁场可视为均匀的．2/322202/32220)(2)(24x R IR x R IR B +=+ππ=μμ 故穿过小回路的磁通量为322022/322202)(2xRI r r x R IR S B π≈π+==Φ⋅μμ 由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为v x I R r t x x IR r t i 4220422023d d 23d d π=π=Φ=μμε当NR x =时，小线圈回路中的感应电动势为)2/(32420R N Iv r i π=με80．一导线弯成如图形状，放在均匀磁场B 中，B的方向垂直图面向里． ∠bcd =60°，bc =cd =a ．使导线绕轴OO ＇旋转，如图，转速为每分钟n 转．计算εOO '＇．⨯ ⨯ ⨯ ⨯ B ⨯c ⨯ ⨯ ⨯ ⨯b d 'O⨯ ⨯ ⨯ ⨯解： 4/32/32122a a S ==t BS ωΦcos =， 60/2n π=ω∴ t BS t O O ωωΦsin )/d (d =-=' )60/2sin()60/2(nt BSn ππ=)60/2sin()120/3(2nt B na ππ=81．电量Q 均匀分布在半径为a 、长为L (L >>a ) 的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度ω绕中心轴线旋转。