1 引言数与形是数学中最古老最基本的研究对象。
华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。
”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。
数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显著的正相关。
解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。
实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。
应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。
2 文献综述2.1国内外研究现状数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。
自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。
文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。
文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。
文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。
不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。
2.2国内外研究现状评价文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。
对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。
2.3提出问题如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。
然而一个不争的事实是—学生利用数形结合在高中数学解决问题的现状并不乐观。
因此对数形结合在高中数学各知识点进行全面研究是有必要的。
3 数形结合思想概述1、数形结合思想的概念数和形是高中数学研究的两大部分，他们之间相互转化，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”和“以数助形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而提高解题效率。
以形助数通常是借助数轴、单位圆、函数图象数式的结构特征等。
以数助形通常是借助向量知识、几何图形表示的数量关系、几何定理等。
2、数形结合思想应遵守的原则（1）等价性原则。
数与形的相互转化要求所讨论的问题与数与形所反映的对应关系必需一致，即代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则会由于几何的局限性导致表示的数不完整。
（2）双向性质原则。
利用数形结合思想，一方面要对直观几何进行分析，另一方面要对代数抽象作探索，两方面相辅相成。
如只对几何问题进行代数分析或对代数问题进行几何分析，在很多时候是很难行得通的。
（3）简单性原则。
简单性原则就是用什么方法解题简单就用什么方法，不要刻意去追求某一种模式——代数问题用几何方法，几何问题用代数方法。
3、数形结合思想的的解题方法（1）图示法如集合运算中的韦恩图，它常常用来显示数学对象间的关系。
（2）区域法如用不等式的几何意义表示平面区间。
（3）坐标法如方程式图形和函数图象它常来表示二元变量坐标间的关系。
（4）特征法如借用连续函数图象显示数列，既求和公式的量化特征。
4 数形结合思想在解题中的应用4.1在集合中的应用集合是高中数学的第一个概念，也是很多数学概念建立的基础，对集合含义、交并补运算的考查是检验掌握知识的关键。
通过数轴平面直角坐标系以及韦恩图表示集合，利用数形结合能快速解决集合问题。
例1 若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<⎭⎬⎫⎩⎨⎧===)0(sin 5cos 5),(πθθθy x y x A ｜，集合{}b x y y x B +==｜),(且φ≠B A ，则b 的取值范围为__＿.解析：集合A 可以变为{}50,25/),(22≤<=+=y y x y x A ，显然，A 表示以（0，0）为圆心，以5为半径的圆在X 轴的上方的部分，B 表示斜率为1=K ，纵截距为b 的直线，要使φ≠B A ，即使直线b x y +=与圆2522=+y x （x 轴上半部分）有公共点。
图1 由图1知25b 5-≤≤.4.2在函数中的应用函数问题是高中数学的一大重难点,然而若注重函数的几何特征，把函数求值的代数问题通过数形结合的运用转化为两点距离问题、斜率问题、直线的纵截距问题等，则可使问题迎刃而解。
例2 已知函数34F 2+-=x x x ）（，求函数)(x F 的单调区间，并指出单调性。
解析：当034-2≥+x x 即1≤x 或3≥x 时，34-F 2+=x x x ）（当034-2≤+x x 即31<<x 时，3-4-F 2x x x +=）（ 所以⎪⎩⎪⎨⎧<<+≥≤-=）（）（或）（）（3112--)31(12-F 22x x x x x x 如图2所示图2所以函数)(x F 的单调区间有：(-∞，1]，[1,2]，[2，3]，[3，+∞）.其中增区间是[1,2]与[3，﹢∞﹚，减区间是﹙－∞，1]与[2,3].4.3在数列中的应用若加强数列中有关数形结合思想方法的应用，可加深对问题的认识，从而抓住问题的本质构造几何图形突破数列问题。
例3 若数列{}n a 为等差数列，p q q p ==a a ，求q p +a .解析：设q p <等差数列n a 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点）（q p ,、）（p q ,、）（m q p ,+共线，设m q p =+a ，由已知得三点）（q a p ,，）（p a q ,，）（q p a q p ++,共线。
如图3，则BC AB K K =，即p-q p p-m p -q q -p +=. 由图3知0=m ，即0p =+q a .4.4在不等式中的应用数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的数学思想。
应用数形结合思想解决不等式就是根据问题的内在联系或数式的结构特征，通过唤起表象和再造想象，赋予适当的几何意义，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的性质和图形之间的关系来解决问题。
例4 解不等式x x ＞2+.解析：常规方法：原不等式化为⎪⎩⎪⎨⎧>+≥+≥，，，22020x x x x （1）或⎩⎨⎧≥+<，，020x x （2）解（1）得20<≤x ；解（2）得02-<≤x .由（1）（2）可得{x ｜20<≤x 或02-<≤x }={x ｜22-<≤x }. 用数形结合方法可以很直观的从图4中得到答案，解法如下：图4令21+=x y ，x y =2，则不等式x x ＞2+的解就是使21+=x y 的图像在x y =2的上方的那段对应的坐标轴，如图4所示，不等式x x ＞2+的解集为{x ｜B A x x x <≤}，由x x =+2可解得2B =x ，所以有-2A =x .故不等式的解集为{x ｜22-<≤x }.4.5在线性规划中的应用应用线性规划知识判断平面区域,求目标函数的最值、取值范围在高考中常以选择或填空的形式出现,都是以中档题为主,解决这类问题的关键是灵活运用数形结合的数学思想,将代数问题转化为几何问题,借助图像的生动直观来阐明枯燥的数的关系。
例 5 设关于x ,y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+0001-2m y m x y x 表示的平面区域内存在点），（00y x p 满足22-00=y x ，求m 的取值范围。
图5解析：如图5要使可行域存在，必有12+-<m m ，要求可行域内包含直线1-21x y =上的点，只要边界点)21,(m m --在直线1-21x y =上方，且),(m m -在直线1-21x y =下方，解不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--<><12121-2-12-1m m m m m m 得32-<m4.6在向量中的应用向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，在数学学科中具有广泛的应用。
平面向量是高考中新增加的最重要内容，由于它的加入，代数和几何的研究全面改观。
数形结合是高考的重要思想之一，而平面向量则为数形结合铺就了道路。
例6 在平面上，21AB AB ⊥1==，21AB AB AP +=.的取值范围是（ ）.图6解析：根据已知条件，A ，1B ，p ，2B 构成一个矩形1AB 2PB ，1AB ，2AB 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图6所示，设b 21==AB a AB ，点O 的坐标为),(y x ,则点P 的坐标为),(b a ，1==得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-1)(12222b y x y a x ）（，则⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-22221)(1xb y ya x ）（，21<，得,41)(22<-+-b y a x ）（则411-122<-+y x ，即4722>+y x …………① 又由1)(22=+-y a x ，得22222121x a ax a y x ++≤+=++，则12≤y ；同理有1)(222=-+b y x ，得12≤x ，即有222≤+y x ………………………………………② 由①②知24722≤+<y x ，所以22722≤+<y x .22y x +=，所以227≤<. 4.7在概率统计中的应用概率统计由于其思维方式与以往的数学课程不同，并且它又蕴含了较广泛的数学知识，因此概率统计成为很多学生的学习障碍。
利用数形结合把线段、平面、空间图形能明确直观地分析、判断事件发生的概率大小。
而概率事件的计算正是依据图形的长度、面积和体积来完成的。
例7 有一容量为100的样本，数据的分组及各组的频率如下：[12.5，15.5），6；[15.5，18.5），16；[18.5，21.5），18；[21.5 ，24.5），22；[24.5 ,27.5），20；[27.5 ，30.5），10；[30.5，33.5），8. 求数据小于30.5的概率是多少？ 解析：图7图8数据大于等于30.5的频率是0.08所以小于30.5的频率为：1.00-0.08=0.92.数据12.518.524.5例8 在长度为L 的线段AB 上任意作两点D C ,，求CA CD ≤的概率。
解析：将线段AB 放在数轴的正上方，以A 为原点，点B 的坐标为L ，设D C ,的坐标分别为),(y x 、),(y x []L ，0∈.而所有可能的结果都在如图9所示的正方形内，CA CD ≤，即x y x ≤-，故02≥≥y x .则所求概率为434-S S 222===L L L P 正方形梯形图94.8在导数中的应用导数是高中数学中重要部分，也是较难的一部分。