数形结合，巧妙解题
作者：李洁
来源：《学校教育研究》2017年第23期
华罗庚教授曾说：“数与形，本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
”数形结合法是一种教与学的思想，教师在教学过程中若能充分重视这一教学思想，积极引导学生去体会、理解和运用这一数学思想，将会使学生在数学学习中得益非浅。
巧用构造图形不仅可以提升学生数形互用解题的水平，而且还对培养学生探究能力和建模能力有积极作用. 而构造图形的关键在于敏锐的观察和合理的联想，通过研究其几何特征，能使抽象的数量关系在图形上直观地表达出来，使问题变得简单.全国各地中考数学试题中经常出现这一类试题。
1.试题呈现，激发兴趣
如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式
的最小值.
本题第（3）问重点考查学生的图形感和阅读理解能力，可以根据第（2）问，依据题目的条件画图求解。
本题实际是考查学生对图形的直观感受，有利于学生进行观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动。
其实，本题来源于课本，但高于课本。
2.追根溯源，探究规律
（1）课本例题
在新人教版八年级上15.3《乘法公式》一节中出现以下思考题：
分析：大正方形面积-小正方形面积=剩余面积。
剩余部分可以拼凑为一个边长为
（a+b）、（a-b）的一个矩形。
证明：S剩余面积=S大 -S小=a2-b2 S剩余面积=（a+b）（a-b）
因此，a2-b2=（a+b）（a-b）。
通过对公式的证明，我们可以得出结论：利用图形可以证明乘法公式。
因此，我们必须学会构造图形。
（2）小试牛刀
你能运用构图法证明完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b2吗？
分析：构图的关键是构造边长分别为（a+b）和（a-b）的正方形，运用面积法进行证明。
答案如下：
（3）归纳总结：构图法是数形结合思想的一个重要形式，它是一种创造性的解题方法，重在“构造图形”，在数学解题教学中，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，对学生的多元思维培养，学习兴趣的提高以及独创钻研精神的发挥无疑是十分有利的。
3.中考新题，拾级而上
新题展示：（1）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们构造成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出构造后的这个图形的示意图.
（2）证明勾股定理.
评析：本题考查勾股定理的逆定理，重在如何“构图”。
方法一：
解：（1）
如右图所示
（2）证明：大正方形的面积表示为，
大正方形的面积也可表示为
，，
.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
方法二解：（1）
如右图所示
（2）证明：大正方形的面积表示为：，
又可以表示为：，
，
.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
新题展示：（2）
问题背景：
在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示.这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积.
（1）请你将的面积直接填写在横线上.__________________
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法.若三边的长分别为、、（），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积.
探索创新：
（3）若三边的长分别为、、（，且），试运用构图法求出这三角形的面积.
评析：本题是阅读理解题，通过构造网格三角形求三角形面积，体现构图法“无所不能”。
聪明的你应该解这道题吧！
4.拓展应用，登高望远
构图法不仅可以解几何题，还可以求解代数题。
对于有些代数题采用常规方法处理往往颇费周折，而利用“图形”则会取得事半功倍的效果。
已知A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米。
如果甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行的路程正好相等。
求甲、乙两人骑车的速度各是多少？
解：如图2所示，AB表示A、B两地相距64千米，AC⊥AB，
设AC=x，表示甲的行驶速度，作BD⊥AB
设BD=x+4，表示乙的行驶速度，在AB上，
取A = ，表示甲在40分钟所行的路程，
⊥AB，且 =x，连结与AB交于E，表示甲、乙各在A、B处同时相向而行并相遇于E 点，于是
由，得
解得：（舍去）
于是x=12，x+4=16.
即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。
总之，数形结合法在解题中的有效运用，体现出数学的和谐美，能把学生从枯燥的数学语言、符号引导到生动形象的数字与图形的游戏中去，从而积极引导学生去体会、理解和运用这一数学思想方法，将会使学生在数学学习中得益非浅。
运用数形结合法可以把一些复杂问题简单化，在较短的时间内抓住问题的本质，既防止无关信息的负面干扰，又能举一反三、触类旁通。
因此，数形结合，更容易解决问题。