1． 晶格动力学本节用经典力学的方法讨论完整晶格中原子（离子）绕平衡位置的振动-晶格振动晶体的元胞数为N ，原子质量为M ，原子的位置： )()(t u R t X l l l +=)(t u l 则代表此原子的位移。

晶格振动的总动能 z y x u u M T ll l ,,21,==••∑αααα总势能为 ...)',(21)(',',0+Φ+Φ+Φ=Φ∑∑∑βααβαβαααl l l l l l u u l l u l ),'()',(0)(0'200l l u u l l u l l l lβαβααβααΦ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Φ∂=Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂Φ∂=ΦΦ的势能。

为常数，是平衡位置时由于晶体的平移对称性 )'()'()',(l l l l l l -Φ=-Φ=Φβααβαβ)'(l l -Φαβ代表l ’元胞中原子沿β方向移动单位距离时对l 元胞中原子作用力沿α方向的分量，称为力常数 ∑=-Φ'0)'(l l l αβ因为当整体作刚性运动（即每个原子均作ααv u l =）时，晶格中任一原子受到其它原子作用力之总和为零；即)'()'()('''=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-Φ-=-Φ-=∂Φ∂-=∑∑∑ββαβββαβααv l l u l l u l F l l l------------------------- 略去Φ展开的三次方∑∑∑•=-Φ+=∆Φ+=αααββααβααα,,'',)'(2121l l l l l l l l l u M p u u l l p p MT H由正则方程可得系统的运动方程 ββαβα',')'(l l l u l l u M -Φ-=∑••利用平移对称性及布洛赫定理 αα0u e u l R ik l •=对于确定的k ，运动方程的解表现出下列特征： （1） 各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等。

（2） 有特定的相位关系，按lik R e •变化---------令ααk U u =0对应于用波矢k 标记的特解 z y x U k D U k k,,,)(=-=∑••βαββαβα∑•-Φ≡lR ik lel Mk D )(1)(αβαβ-------3⨯3动力学矩阵，为实的厄米矩阵。

其对角化方程为 αββαβωkk e e k D 2)(=∑ ω为振动频率，由久期方程 0||)(||det 2=-αβαβδωk D 可求出3个本征频率和本征向量 ），，（321;)(==σωωσσk e kσk e 满足正交性和完备性条件 t i k k e e U ωαα-~结合以上方程可知： ][1~t R k i k l l e e Nu ωαα-• 代表波矢为k 、偏振为σ、频率为)(k σω的格波解。

根据正格矢与倒格矢之间的关系可得 )()(k D K k D n αβαβ=+ 动力学矩阵是倒逆空间的周期函数；因此在BZ 内讨论即可。

------------------由于有N 个不同的k ，而每个k 又对应3个本征值，因此有3N 个简正模（或格波解），它们满足正交、归一和完备性条件，构成3N 维空间函数组。

晶格振动的一般解： l R ik k k k le Q e NMu •∑=σασσα,1系数σk Q （包括t k i e )(σω-因子）在固体物理学中称为简正坐标；σk e 代表格波的偏振方向，称为极化矢量，它是单位矢。

-------------对于具有r 个原子的复式晶格，本征频率 )3,..,2,1()(r k ==σωωσl R ik k k k sl e Q s e NM s u •∑=σσσ)(1)(,以上是晶格动力学的基本原理。

2.格波的特性1. )(k σω的共性i ）格波的本征频率是倒点阵的周期函数 )()(n K k k +=σσωωii ）)(k σω具有点阵所属点群的全部对称性 )()(k k αωωσσ= iii ）存在一个普遍的关系式 )()(k k -=σσωω 它是时间反演对称性的结果。

2.声学模与光学模声学模：色散曲线具有k=0时，ωσ=0特征的格波称为声学模。

光学模：反之，当k=0时0≠σω的格波解称为光学模。

可以证明：简单晶格中的全部格波解都属于声学模 因为：∑•-Φ≡lR ik lel Mk D )(1)(αβαβ0)(1)0(=Φ≡=∑ll Mk D αβαβ在复式晶格中，同时存在声学模和光学模对于元胞中有r 个原子的复式晶格有本征方程 )()'(',',2s e s e s s k D k s k αββαβω∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 其中s,s ’=1,…,r,代表元胞中不同的原子。

格波频率由下式决定： 0||',||det '2=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ss s s k D δδωαβαβ lR ik l s s es s l M M s s k D •-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑',1','αβαβ 0'2)'()(','⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Φ∂≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φs u s u s s l l l l βααβ同样，复式晶格的刚性位移不产生应力∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ','0','s l s s l l αβ将αβD 0时的=k 代入本征方程可得)3,...,2,1()'(','1)()('',',2r M s e s s l l M M s e s s l s s =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΓΓΓ∑σωβσβαβασσ如果某确定的σ的解在长波限满足条件r s s M s e M s e s s ,...,1',)'()('==ΓΓασασ----------同向运动则本征方程变为声学模,0)(0',')(1)()(2','2=Γ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Γ∑∑ΓΓσαβββσασσωωs s l l M s e M M s e s l s ss由此可知，复式晶格的声学模为元胞内各原子的同向运动，即元胞的质心运动 每个k 值有3个独立的σ解属于声学模。

在一般情况下0)(≠Γσω，即其它（3r-3）个σ解属于格波的光学模 如果（s=1，2），当'σσ≠时Γ点的实极化矢量满足正交关系：()0)2()2()1()1()2()1()2()1(''''=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΓΓΓΓΓΓΓΓσσσσσσσσe e e e e e e e设σ为声学模，由于对声学模有21)2()1(M e M e σσΓΓ=代入上式可得[]0)2()1()1('2'11=+•ΓΓΓσσσe M e M M e由于3个声学模解的极化向量)3,2,1()(=Γσσs e 彼此正交。

因此，光学模满足条件)2()1()2()1(21'2'1=+-=ΓΓl l u M u M e M e M σσ因此，光学模代表元胞的质心不动，元胞内原子的相对运动。

3. 格波频率的计算（i ）∑线（包含Γ、M 点）横向声学模：极化矢量e 与传播方向垂直； 纵向声学模：极化矢量e 与传播方向平行；（ii ）∆线（包含Γ、X 点） 存在横向声学模和纵向声学模 （iii ）Z 线（包含X 、M 点） 既非横波，也非纵波。

3. 简正坐标在简谐近似下晶格振动已由简正模的线性叠加表示lR ik k k k l e e Q NMu •∑=σσσ,1其中σk Q 是复简正坐标，由于l u 为实量，则l l u u =*；那么σσσσk k k k Q e Q e --=*若约定极化矢量满足关系式 σσk k e e -=则复简正坐标 σσk k Q Q -=*对于动能••••-••••∑∑∑∑∑∑=•=•=•=σσσσσσσσσσσσσσσδk k k k k k k k kk k k k k k k lll Q Q e e Q Q e e Q Q u u M T ,*','*','''',',''21)(21)(2121晶格振动的势能AeNQ Q u l l u lR k k i k k k k l l l l l∑∑∑∑∑•-=-Φ=∆Φ)'(''',',*',,'121)'(21σσσσβαβαβα其中)'()()'()'(12''''''')(''k e e e k D e e e l l M e A k k k k k l R R ik k l l σασαασββσαβαασββσαβαασω∑∑∑∑∑∑==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-Φ=-•- 那么 σσσσωk k k Q Q k ∑=∆Φ,*2)(21 晶格振动的哈密顿可简化为 ∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=••σσσσσσω,*2*)(21k k k k k Q Q k Q Q HH 在简正坐标中表示为3N 个独立项之和； 利用拉氏函数∆Φ-=T L可求出Q k σ的共轭动量 ••=∂∂=*σσσk k k Q Q L P ∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=σσσσσσω,*2*)(21k k k k k Q Q k P P H 根据正则方程 σσk k Q HP ∂∂-=•可求出简正坐标满足方程 02=+••σσσωk k k Q Q 与简谐振子的运动方程在形式上相同。

利用傅里叶变换∑∑•-•-•=•=ααασσσ,)(1)(l R ik lkl R ik lkk lle u e NMeu e NM Q∑∑•-•-•=•=ααασσσ,)(1)(1l R ik l k lR ik lkk llep e NMep e NMP显然简正坐标σk Q 和其共轭动量σk P 均为集体坐标。

4.声子晶格振动必须用量子力学处理其量子化条件为共轭量βαl l u p ,满足对易关系),,,(0],[],[],[''''''z y x p p u u i p u u p u p l l l l ll l l l l l l ====-≡βαδδβαβααβαββαβα（一次量子化）那么容易求得简正坐标的对易律：ie N e e i e u p e e N Q P ll l l R k k i lk k R k R k i l l k l l k k k ===•-•-•∑∑∑∑)'('''('''',,''1)(],)[(1],['ασαασβαβσβαασσσ）0],[],[''''==σσσσk k k k P P Q Q由于（P ，Q ）为复共轭量，因此，H 哈米顿中))((21*2*σσσσσωk k k k Q Q k P P +并不对应量子力学中频率为)(k σω的简谐振子哈密顿量)(21222q p ω+，因为（p ，q ）为实量。