第二章 一元函数微分学一、 导数（一）、导数概念1、导数的定义：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ∆时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时，xy∆∆的极限存在，即x yx ∆∆→∆0limxx f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|x x y ='或|0x x dx dy =或|0)(x x dx x df =2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -∆+=∆②算比值x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+=)()( ③取极限x y x f y x ∆∆='='→∆0lim )(xx f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim0 例1：根据定义求2x y =在点3=x 处的导数。

解：223)3(-∆+=∆x y 2)(6x x ∆+∆=x xy∆+=∆∆6 6)6(lim lim 00=∆+=∆∆→∆→∆x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式①xx x xx f x x f x f x ∆+=⇓∆-∆+='→∆00000)()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→时＝当0)()(lim )(0000x xx f x f x f x ⇓∆-='→∆ ③xf x f f x )0()(lim)0(0-='→4、左右导数的定义：如果当)0(0-+→∆→∆x x 时，xy∆∆的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左导数），记为)(0x f +'［)(0x f -'］000000)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='--→∆→∆-0000000)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='++→∆→∆+5、函数)(x f 在点0x 处可导的充要条件：)(x f 在点0x 的左、右导数都存在且相等即)(0x f '存在)(0x f +'⇔＝)(0x f -'【或x y x ∆∆→∆0lim 存在xyx y x x ∆∆=∆∆⇔+-→∆→∆00lim lim 】 6、函数的可导性与连续性的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必连续，反之不一定成立。

即连续可导→例如：||x y =在0=x 处连续，但不可导。

解：⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x y Θ0lim lim 0=∆=∆→∆→∆x y x x 连续又10lim )()(lim )(0000-=--=-='--→∆→∆-x x x x f x f x f x x Θ10lim )()(lim )(0000=-=-='++→→+xx x x f x f x f x x)0(+'f )0(-'≠f )0(f ∴不存在7、导数)(0x f '与导函数)(x f '之间的区别，联系是什么？①区别：)(0x f '是数值，)(),,(00是取定的x b a x ∈；)(x f '是函数x b a x (),,(∈是任意一点）； ②联系：)()(0|x f x f x x '='=注：导函数)(x f '简称导数8、导数的物理意义和几何意义？ ① 物理意义：瞬时变化率因变量相对自变量的瞬时变化率②几何意义：曲线)(x f y =在点))((0,0x f x 处切线的斜率。

此时曲线)(x f y =过点))((0,0x f x 处的切线方程：))(()(000x x x f x f y -'=-法线方程：)()(1)(000x x x f x f y -'=- )0)((0≠'x f 例2、根据定义求x y =的导数解：x x x y -∆+=∆x x x x x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆00lim lim)(lim 0x x x x x x x x +∆+∆-∆+=→∆x x x x +∆+=→∆1lim 0x 21= 因此xx 21)(=' 或xdx x d 21)(=同理可推导：nx y = 1-='n nxy例3、根据定义求x y sin =的导数xx x x x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆sin )sin(lim lim00xxx x x ∆∆∆+-=→∆2sin )2cos(2lim0 x xxx x x cos 22sin)2cos(lim0=∆∆∆+-=→∆ 因此x x cos )(sin ='同理可推导x x sin )(cos -=' 例4、根据定义求x y ln =的导数 xx x x x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆ln )ln(lim lim00xx x x ∆∆+=→∆)1ln(lim0x x x x ∆→∆∆+=10)1ln(limx e x x x x x x x 1ln ])1[ln(lim 110==∆+=∆→∆ 例5、求正弦曲线x y sin =在3π=x 时的切线方程和法线方程。

解：x y cos =' 213cos |3=='==ππx y k当3π=x 时，233sin==πy 切线方程：)3(2123π-=-x y 即03363=+--πy x法线方程：)3(223π--=-x y 即：1203346=--+πy x小结如何验证)(x f y =在0x 处的可导性：⑴、用定义的三种表达形式之一；⑵、也可以用左导数，右导数是否存在并且相等； ⑶、下列三种情况之一，函数在0x 处肯定不可导： ①、函数在0x 处不连续；②、函数在0x 处左导数和右导数至少有一个不存在； ③、函数在0x 处左、右导数都存在，但不相等。

（二）、导数的基本公式与运算法则1、导数的四则运算 ⑴、v u v u '±'='±)( 例5、x x x y ln sin 4-+= 解：xx x y 1cos 43-+='⑵、v u v u uv '+'=')( 当C u =时，u c cu '=')(w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(例6、x x y cos 7=解：x x y cos )(7'=')(cos 7'+x x x x cos 76=x x sin 7-例7、axx y a ln ln log ==解：ax x a y ln .1)(ln ln 1='=' 即：ax x a ln .1)(log ='⑶、2)(v v u v u v u '-'=' )0(≠v 例8、x y tan =解：x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ('-'='='x x x 222cos sin cos -=x x22sec cos 1== 即：x x 2sec )(tan ='同理可推得x x 2csc )(cot -=' 例9、x y sec =解：x x x y 2cos )(cos )cos 1('-='='xx2cos sin =x x tan .sec = 类似可得：x x x cot .csc )(csc -='2、导数的基本公式1、0)(='C2、1)(-='αααx x3、)1,0(ln )(≠>='a a a a a x x4、x x e e =')(5、)1,0(ln 1)(log ≠>='a a ax x a 6、xx 1)(ln =' 7、x x cos )(sin =' 8、x x sin )(cos -=' 9、x x 2sec )(tan =' 10、x x 2csc )(cot -=' 11、x x x tan sec )(sec =' 12、x x x cot csc )(csc -=' 13、211)(arcsin xx -=' 14、211)(arccos xx --='15、211)(arctan x x +=' 16、211)cot (x x arc +-='（三）、求导方法1、 复合函数求法设函数)(u f y =、)(x u ϕ=且)(x ϕ在点x 处可导，)(u f 在对应点u 处可导，则复合函数)]([x f y ϕ=在点x 处可导，且)()(x u f dxdyϕ''= 或写成dx du du dy dx dy .=或写成dxdu du df dx df .=例10、x y 3cot =解：函数的复合形式3u y =、x u cot =)(cot )(3''='x u y )csc (322x u -=x x 22csc cot 3-=例11、3sin ln x y =解：函数的复合形式w y ln =、u w sin =、3x u =322332cot .33.cos .sin 13.cos 1x x x x xx u w y ===' 2、分段函数的求导法 设分段函数⎩⎨⎧≥<=00),(),()(x x x v x x x u x f求其导数)(x f '的步骤①按导数公式分别求)(x u '、)(x v '②判定)(x f 在分段点0x 处的连续性，若在分段点)(x f 不连续，则)(x f 在点0x 不可导，如果)(x f 在点0x 处连续，则继续讨论。

③求分段点的左（右）导数)(lim 0x u x x '-→、)(lim 0x v x x '+→，如果)(lim 0x u x x '-→)(lim 0x v x x '=+→，则)(x f 在点0x 处可导。