全等三角形练习题一．选择题（共 3 小题）AD⊥BC 于点D，若∠ BAC=128°，∠C=36°，则∠ DAE的度数是（）1．（2012?梧州）如图，AE是△ ABC的角平分线，A． 10°B．12°C． 15°D．18°2．（ 2011?随州）如图，在△ ABC 中 E 是 BC上的一点， EC=2BE，点 D是 AC的中点，设△ ABC，△ ADF，△ BEF 的面积分别为 S△ABC， S△ADF， S△BEF，且S△ABC=12，则 S△ADF﹣ S△BEF=（）A． 1 B．2 C． 3 D．43．（ 2009?内江）如图，小陈从O点出发，前进 5 米后向右转20°，再前进 5 米后又向右转20°，，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A．60米B． 100米C．90米D． 120米二．填空题（共 4 小题）4．（ 2009?黔东南州）如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中 A 点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有 1 人，乙农户有 3 人，请你把它分出来．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．_________ ．5．（ 2007?资阳）如图，对面积为 1 的△ ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB， BC， CA至点 A1，B1，C ，使得 A B=2AB， B C=2BC， C A=2CA，顺次连接 A ，B ， C ，得到△A B C ，记其面积为S ；第二次操作，分别延长1111111 1 1 1 1A1B1， B1C1，C1A1至点 A2，B2， C2，使得 A2B1=2A1B1， B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2， B2， C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5= _________ ．6．（ 2012?通辽）如图，△S= _________．△CAO ABC 的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：7．（ 2012?通辽）如图，梯形 ABCD中， AD∥BC， DC⊥BC，将梯形沿对角线处，若∠ A′BC=15°，则∠ A′BD的度数为_________．BD折叠，点A 恰好落在DC边上的点A′三．解答题（共 5 小题）11．（2012?牡丹江）如图①，△ ABCH．易证 PE+PF=CH．证明过程如下：中． AB=AC， P 为底边BC上一点， PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（ 1）如图②， P 为 BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、 CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（ 2）填空：若∠ A=30°，△ ABC 的面积为49，点 P 在直线 BC上，且 P 到直线 AC的距离为PF，当 PF=3时，则边上的高CH= _________．点P到AB边的距离PE= _________．AB12．（ 2012?云南）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，点 D 是 AB边上的一点， DM⊥AB，且 DM=AC，过点 M作 ME∥BC交AB于点 E．求证：△ ABC≌△ MED．全等三角形练习题参考答案与试题解析一．选择题（共 3 小题）1．（2012?梧州）如图，AE是△ ABC的角平分线， AD⊥BC 于点 D，若∠ BAC=128°，∠C=36°，则∠ DAE的度数是（）A． 10°B． 12°C． 15°D． 18°考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠ DAE=∠CAE﹣∠ CAD，代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵ AD⊥BC，∠ C=36°，∴∠ CAD=90°﹣ 36°=54°，∵AE 是△ ABC的角平分线，∠ BAC=128°，∴∠ CAE=∠BAC=×128°=64°，∴∠ DAE=∠CAE﹣∠ CAD=64°﹣ 54°=10°．故选 A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．2．（ 2011?随州）如图，在△ ABC 中 E 是 BC上的一点， EC=2BE，点 D是 AC的中点，设△ ABC，△ ADF，△ BEF 的面积分别为S△ABC， S△ADF， S△BEF，且 S△ABC=12，则 S△ADF﹣ S△BEF=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：三角形的面积．分析：本题需先分别求出S△ABD， S△ABE再根据 S△ADF﹣ S△BEF=S△ABD﹣ S△ABE即可求出结果．解答：解：∵S △ABC=12，EC=2BE，点 D 是 AC的中点，∴S△ABE==4，S△ABD==6，∴S△ABD﹣S△ABE，=S△ADF﹣ S△BEF，=6﹣ 4，=2．故选 B．点评：本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键．3．（ 2009?内江）如图，小陈从O点出发，前进 5 米后向右转20°，再前进 5 米后又向右转20°，，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A．60米B． 100米C．90米D． 120米考点：多边形内角与外角．专题：应用题．分析：利用多边形外角和等于360 度即可求出答案．解答：解：∵小陈从O点出发当他第一次回到出发点O时正好走了一个正多边形，∴多边形的边数为360°÷ 20=18，∴他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90 米．故选 C．点评：主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．二．填空题（共 4 小题）4．（ 2009?黔东南州）如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中 A 点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有 1 人，乙农户有 3 人，请你把它分出来．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．答案如图．考点：三角形的面积．专题：作图题．分析：因为按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即 A 点），已知甲农户有 1 人，乙农户有 3 人，所以需要把三角形的面积平均分为 4 份，甲占 1 份，其余的是乙的，由此把 BC四等分即可．解答：解：如图所示：点评：本题需仔细分析题意，结合图形利用等分点即可解决问题．5．（ 2007?资阳）如图，对面积为 1 的△ ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB， BC， CA至点 A1，B1，C1，使得 A1B=2AB， B1 C=2BC， C1A=2CA，顺次连接 A1，B1， C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1， B1C1，C1A1至点 A2，B2， C2，使得 A2B1=2A1B1， B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接 A2， B2， C2，得到△A2B2C2，记其面积为 S2；；按此规律继续下去，可得到△A55B5C5，则其面积S5=19 ．考点：三角形的面积．专题：操作型．分析：根据高的比等于面积比推理出△A 1 1 1 BC面积的21 1 1倍，B C的面积是△A倍，则△A B B 的面积是△A BC面积的 3以此类推，得出△A2B2C2 的面积．解答：解：连接 A1C，根据 A1B=2AB，得到： AB：A1A=1： 3，因而若过点 B， A1作△ ABC与△ AA1C 的 AC边上的高，则高线的比是1：3，因而面积的比是 1：3，则△A1BC的面积是△ ABC 的面积的 2 倍，设△ ABC 的面积是 a，则△A1BC的面积是2a，同理可以得到△A 1B1C的面积是△A 1 BC面积的2倍，是4a，则△A1 B1 B 的面积是6a，同理△B1C1 C和△A1C1 A的面积都是6a，△A B C 的面积是 19a，1 1 1即△A1 B1 C1 的面积是△ABC的面积的19 倍，同理△A2B2 C2 的面积是△A 1B1C1 的面积的19 倍，即△A1 B1 C1的面积是19，△A2B2 C2的面积 192，5依此类推，△A 5B5C5 的面积是S5=19 =2476099．点评：正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键，本题的难度较大．6．（ 2012?通辽）如图，△ ABC 的三边 AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则 S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4： 5： 6．考点：角平分线的性质．分析：首先过点O作 OD⊥AB 于点 D，作 OE⊥AC 于点 E，作 OF⊥BC 于点 F，由 OA，OB， OC是△ ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ ABC 的三边 AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO： S△BCO： S△CAO的值．解答：解：过点O作 OD⊥AB 于点 D，作 OE⊥AC 于点 E，作 OF⊥BC 于点 F，∵OA， OB，OC是△ ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ ABC 的三边 AB、BC、 CA长分别为40、 50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为： 4： 5： 6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．7．（ 2012?通辽）如图，梯形ABCD中， AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线处，若∠ A′BC=15°，则∠ A′BD的度数为30°．BD折叠，点A 恰好落在DC边上的点A′考点：翻折变换（折叠问题）．分析：由梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠ A′BC=15°，利用三角形外角的性质，可求得∠DA′B叠的性质，可得：∠ A=∠DA′B=105°，∠ ABD=∠A′BD，继而求得∠ A′BD的度数．的度数，由折解答：解：∵梯形ABCD中， AD∥BC，DC⊥BC，∴∠ C=90°，∵∠ A′BC=15°，∴∠ DA′B=∠A′BC+∠C=15°+90°=105°，由折叠的性质可得：∠ A=∠DA′B=105°，∠ ABD=∠A′BD，∵AD∥BC，∴∠ ABC=180°﹣∠ A=75°，∴∠ A′BD==30°．故答案为： 30°．点评：此题考查了折叠的性质、梯形的性质以及三角形的外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．11．（2012?牡丹江）如图①，△ ABC 中． AB=AC， P 为底边BC上一点， PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证 PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（ 1）如图②， P 为 BC延长线上的点时，其它条件不变，以证明：PE、PF、 CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加（ 2）填空：若∠ A=30°，△ ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC上，且 P 到直线 AC的距离为 PF，当 PF=3时，则 AB 边上的高 CH= 7 ．点 P 到 AB边的距离 PE= 4 或 10 ．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．专题：几何综合题．分析：（ 1）连接 AP．先根据三角形的面积公式分别表示出△ABP△ACP△ABC △ABP △ACP △ABCS ， S ，S ，再由 S =S +S 即可得出（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ ABC的面积为 49，求出 CH=7，由于 CH＞ PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边 BC上一点，运用结论 PE+PF=CH；②P为 BC延长线上的点时，运用结论 PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵A B=AC，∴PE=PF+CH；（ 2）∵在△ ACH 中，∠ A=30°，∴AC=2CH．∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴× 2CH?CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边 BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣ PF=7﹣ 3=4；②P为 BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7； 4 或 10．点评：本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，论是解题的关键．（ 2）中分情况讨12．（ 2012?云南）如图，在△ABC 中，∠ C=90°，点 D 是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC 交AB于点 E．求证：△ ABC≌△ MED．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△ MED．解答：证明：∵ MD⊥AB，∴∠ MDE=∠C=90°，∵ME∥BC，∴∠ B=∠MED，在△ ABC 与△ MED中，，∴△ ABC≌△ MED（ AAS）．点评：此题考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，难度一般．。