因此, Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).
Taylor展开方法就是一种插值方法.
泰勒插值要求提供 f(x) 在点x0处的各阶导数,这仅 仅适用于 f(x) 相当简单的情况.
§1.2 Lagrange插值
• 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有定义，且给 出一系列点上的函数值yi=f(xi) (i=0,1,2,…,n)， 求作n次多项式pn(x) 使得
定理 (插值多项式的存在唯一性) 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n
的 n 阶插值多项式是唯一存在的。
证明： ( 利用Vandermonde 行列式论证)
a0 a1x0 ... an x0n y0 a0 a1x1 ... an x1n y1 ...
1 xj)
j0
li ( x)
n ji
(x xj) (xi x j )
j0
n
Ln ( x) li ( x) yi i0
插值余项 /* Remainder */
用简单的插值函数L n(x)代替原复杂函数f(x),其 精度取决于截断误差,即插值余项.
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 Rn( x) f ( x) Ln( x)
Rn(x)
f (n1) ( )
(n 1) !
n
(x xi )
i0
即Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x

x0
)(
x

x1
)(
x

x2
)
(
x

xn
)
其中 [a,b]
——拉格朗日余项定理
注： 通常不能确定 , 而是估计 f (n1)( x) M ,n1x(a,b)
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。

P1 ( x) y0 称 x为y11 拉xy氏00 (基x 函x数0 )
= x x1 x0 x1
y0 +
x x0 x1 x0
( x0 x1)( x0 x2)
( x1 x0)( x1 x2) ( x2 x0)( x2 x1)
l0(x)
l1(x)
l2(x)
n1
n次多项式
希望找到li(x)，i
=
0,
…,
n
使得
1
li(xj)= 0
i j i j
；然后令
n
Pn ( x )
i0
li( x )
y i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
li(x)
每个与li节有点n 个有根关，x0而…与xif …无x关n li (x) Ci (x x0)...(x xi )...(x xn
)

CN插i 次jn值i拉(x多格项x朗j )式日
li (xi ) 1
Ci

ji
( xi
pn (xi)= yi (i=0,1,2,…,n)
函数pn (x)为f(x)的插值函数；称x0,x1,… xn称为
插值节点或简称节点。插值节点所界的区间[a,b]
称为插值区间。pn (xi)= yi 称为插值条件。
构造的n次多项式可表示为: Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+…+ anxn
第三章 插值法 /* Interpolation */
• 问题的提出 • 拉格朗日插值 • 牛顿插值 • 埃尔米特插值 • 曲线拟合的最小二乘法
§1问题的提出
函数y = f(x) 1）解析式未知；2）虽有解析式但表达式较复杂，
通过实验计算得到的一组数据，即在某个区间 [a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，
a0 a1xn ... an xnn yn
这是一个关于a0 , a1 ,… an 的n+1元线性方程组,其系
数行列式:
n i1
Vn (x0, x1,...,xn )
(xi x j )
i1 j0
由于i ≠j时, xi ≠ xj ,因此 Vn (x0 , x1,..., xn ) 0,即方程组有
3）列表函数
x
x0 x1 x2 …… xn
y=f(x) y0 y1 y2 …… yn
问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能
进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导 数等。因此需寻找y = f(x)的近似函数p(x),但要求 p(xi) = f(xi) 。——插值问题
已知精确函数 y = f(x) 在一系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构 造一个简单易算的近似函数 p(x) f(x)，满足 条件p(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 p(x) 称 为f(x) 的插值函数。最常用的插值函数是 …?
1
y1 i0 li ( x) yi
l0(x)
l1(x)
线性插值
直线方程的两点式： L1(x) x x1 y0 x x0 y1
1
x0 x1
x1 x0
L1(x) i0 li ( x) yi
l (x)
l (x)
抛物插值
L2(x)
( x x1)( x x2) y0 ( x x0)( x x2) y1 ( x x0)( x x1) y2
多项式
p(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
§1.1Taylor插值
函数y = f(x)在点x0处展开有Taylor 多项式:
pn (x)
f (x0 )
f
' (x0 )(x x0 )
f
'
' ( x0 2!
)
(
x

x0
)
2

...
f
(n) (x0 n!
)
(x

x0
)n
可见: Pn(k)(x0)= f (k)(x0) k=0,1,…,n
唯一解.
§2 拉格朗日插值公式
求 n 次多项式 Pn ( x) a0 a1 x an xn 使得
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1( x) a0 a1 x 使得