拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()nk k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值１.１. 线性插值的定义假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =,()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ．()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线，如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即()()k kk kk k x x x x y y y x L ---+=++111 (点斜式)， 图１()11111++++--+--=k kk kk k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)．y k+1k y2 由两点式方程看出，()x L 1由两个线性函数()11++--=k k k k x x x x x l ,()kk kk x x x x x l --=++11的线性组合得到,其系数分别为k y 及1+k y ,即()()()x l y x l y x L k k k k 111+++=． 显然,()x l k 及()x l k 1+也是插值多项式,在节点k x 及1+k x 上满足条件()1=k k x l ， ()01=+k k x l ， ()0=k k x l ， ()111=++k k x l ．称函数,()x l k （图２）及()x l k 1+（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数. 图象为：图2 图3１.２. 线性插值例题例1. 已知,352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===用线性插值计算.解：由题意取000.320.314567x y =⎧⎨=⎩，⎩⎨⎧==333487.034.011y x ，⎩⎨⎧==352274.036.022y x ．若取34.0,32.010==x x 为节点，则线性插值为：()()00101013367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈330365.00167.002.001892.0314567.0=⨯+=.若取36.0,34.021==x x 为节点，则线性插值为：()()11212113367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈()330387.00033.002.0018787.0333487.0=-⨯+=.xk+1kxyk+1k3２.二次插值２.１. 二次插值的定义若2=n 时,假定插值节点为11,,+-k k k x x x 要求二次插值多项式()x L 2,使它满足()j j y x L =2 (1,,1+-=k k k j )()x L y 2=的几何意义:通过三点的()11,--k k y x ,()k k y x , , ()11,++k k y x 的抛物线.例如()x l k 1-，因为它有两个零点1,+k k x x ，故可表示为：()()()11+---=k k k x x x x A x l . 由()111=--k k x l 得()()11+--=k k x x x x A .所以， ()()()()()11111+--+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l .同理()()()()()1111+-+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l ， ()()()()()k k k k k k k x x x x x x x x x l ----=+-+-+11111.函数()x l k 1-, ()x l k ,()x l k 1+称为二次插值基函数或抛物插值基函数. 在区间[]11,+-k k x x 上的图形分别为:利用二次插值基函数()x l k 1-, ()x l k , ()x l k 1+,立即可得到二次插值多项式()()()()x l y x l y x l y x L k k k k k k 11112++--++=()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===+-===+===+++---.,1 0,1,1,10,1,1, 0,1111111k k j x l x l k k j x l x l k k j x l x l j k k k j k k k j k k kk+14显然,它满足条件()j j y x L =2 ()1,,1+-=k k k j . 即()=x L 21-k y ()()()()1111+--+----k k k k k k x x x x x x x x + k y ()()()()1111+-+-----k k k k k k x x x x x x x x + 1+k y()()()()k k k k k k x x x x x x x x ----+-+-1111２.２. 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用例2. 已知函数()c ax x f -=2（c a ,为实数 ）。

若 4-≤()11-≤f ，()221≤≤-f ，则()8f 的最大值是多少？提示：由()c ax x f -=2是偶函数，得()()11f f =-.令节点2,1,1210==-=x x x ，由拉格朗日插值公式（抛物插值）得()()()()()()()()()72111281882010210=------=----=x x x x x x x x l()()()()()()()()()272111281882101201--+-+=----=x x x x x x x x l()()()()()()()()()211212181881202102=-+-+=----=x x x x x x x x l()()()()()()()12212112717221127178≤+-=+--=f f f f f f f注：用高中知识很难解决该题，从此题中可知拉格朗日公式在解题中的方便与快捷.例3. 已知()c bx x x f ++=2求证：()()()3,2,1f f f 中至少有一个值不小于21． 证明：根据二次函数的插值公式()()()()()()()()()()()()()()()()3231321232123113121322f x x f x x f x x c bx x x f ----+----+----=++= 比较上式两边2x 的系数，有()()()13212121=+-f f f 假若()()()3,2,1f f f 都小于21，则1=()()()()()()121.212121.2132121213212121=++<++≤+-f f f f f f 得出矛盾.所以，()()()3,2,1f f f 中至少有一个值不小于21注：这是一道全国高中数学联赛题，对高中生有一定难度，但应用高等数学知识来做却易如反掌。

从这方面可看出高等数学的学习对我们中学数学教学的指导有重要作用。

5例4．设c b a ,,为非等腰C ∆AB 的三边长，S 为面积。

求证：()()()()()()214333332S b c a c c c b a b b c a b a a ⨯>--+--+--分析：由不等式左边分母联想到拉格朗日插值公式 证明：构造二次多项式：()()()()c x b x a x x x f ----=3则由拉格朗日插值公式得()()()()()()()()()()()()()()()c x b x a x x c b c a c b x a x b c b a b c x a x a c a b a c x b x ----=----+----+----3333 比较等式两边2x 的系数得()()()()()()p c b a b c a c c c b a b b c a b a a 2333=++=--+--+--由海伦公式得()()()()2733432p c b a p p c p b p a p p S =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-≤---= 因为c b a ,,不全相等，所以，上式等号不成立. 于是， 214321433223S p Sp ⨯>⇒>小结：由此可推广：设n x x x ,,,21 为互不相等的n 个数，则()∑∑∏=-=≤≤≠i nk nj k j j k nkx x x x 11．例5．二次函数()x f 满足()()()92,76,910-==-=-f f f ，则()2008f 的值是多少？ 提示：由拉格朗日插值公式可设()()()()()()()()()()()()()()()()2102621066261062101021061026f x x f x x f x x x f +++++---+--++---+--+=例６．已知,416,39,24===求7的近似值 解：令x y =，列表1).用线性插值多项式三组数据中，可以任取两组数据构造线性插值多项式()x L 1．鉴于插值点所处的位置，应选取6 ()()1100,,,y x y x 构造()x L 1．()()()()()4539523494294911001-+--=⨯--+⨯--=+=x x x x y x l y x l x L 所以 ， ()6.2771=≈L 2).用抛物插值多项式用全部数据构造抛物插值多项式()x L 2()()()()()()()()()()()()()()()()4916416943169491642164941692211002⨯----+⨯----+⨯----=++=x x x x x x y x l y x l y x l x L 所以， ()6286.272538153772=-+=≈L 结论：对比2,1==n n 时，抛物插值更精确．例7.已知()()02≠++=a c bx ax x f 满足()()(),831,325,117≤≤-≤≤--≤≤-f f f 求()4f 的取值范围.分析：解决本题关键是用()()()3,2,1f f f 表示()4f ，用高中知识联立方程组()()()⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a f c b a f c b a f 3932421求出c b a ,,并代入()c b a f ++=4164，从而确定()4f 的取值范围，这样做过程较繁，而使用二次函数的拉格朗日公式却恰到好处.解：由二次拉格朗日公式得()()()()()()()()()()2132113232121--+------=x x f x x f x x f x f 则()()()()332314f f f f +-= 由已知得()38419≤≤-f 3.n 次Lagrange 插值多项式上面对1=n 及2=n 的情况,得到一次与二次插值多项式()x L 1及()x L 2, 用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形.下面讨论1+n 个节点n x x x <<< 10的n 次插值多项式()x L n ,假定它满足条件()j j n y x L =()n j ,,1,0 =（１）为了构造()x L n ,先定义n 次插值基函数．7定义：若n 次多项式()x l j ()n j ,,1,0 = 在1+n 个节点n x x x <<< 10上满足条件()⎩⎨⎧≠==j k jk x l k j ,0,1 ()n k j ,,1,0, =就称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10 为节点n x x x ,,,10 上的n 次插值基函数．类似1=n 及2=n 的推导方法，可得n 次插值基函数为()()()()()()()()()n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+- 110110()n k ,,1,0 =．满足（１）的插值多项式可表示()()∑==nk k k n x l y x L 0（２）由()x l k 的定义知()()jjnk kk j n yx l y x L ==∑=0()n j ,,1,0 =．形如(２)式的插值多项式()x L n 称为Lagrange 插值多项式． 令()()()()n n x x x x x x x w ---=+ 101易求()()()()()n k k k k k k k n x x x x x x x x x w ----=+-+ 110'1则（２）可改写为：()()()()∑=++-=nk k n k n kn x w x x x w y x L 0'11 注意: n 次插值多项式()x L n 通常是次数为n 的多项式,特殊情况次数可能小于n ．二．拉格朗日（Lagrang ）插值公式的证明设已知函数()x f 在1+n 个互异的点n x x x ,,,10 处的函数值()j j y x f =，()n j ,,1,0 =现构造一个次数不超过n 的多项式，使满足()k k n y x L =，n k ,,1,0 =.（３）1.唯一存在性满足插值条件（３）的次数不超过n 次的多项式()()()()()()()n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x L ---++--+-+= 10102010 (４)是唯一存在。