带电粒子在有界磁场中运动的临界问题（同名9311）带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量m、电量q确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。

在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（C2），并可归并为6大类型。

所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹 圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序 尽可能多地 作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少 5画个轨迹圆）， ③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆, 从而抓住解题的关键点。

类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大 小不确定（即轨道半径不确定）【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为 B ， 板间距离也为L ，板不带电.现有质量为 m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），① ②r =④厂⑧出射二―⑨ 一*■⑩型四类 型 五⑤⑨ 入射方向、速度大 小；出射方向、速度 大小； 类 型 六④ ⑥ 入射点、出射方向； 出射点，入射方向⑤ ⑥ ⑦LX 为** iX* 丸 X从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁 场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A •使粒子的速度xBm5BqL v>4mBqL 5BqL4m <v< 4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的 粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直I线上（如图甲），在该直线上取不同点 为圆心，，半径由小取到大， 圆（如图乙），其中轨迹圆— 界轨迹圆。

轨道半径小于轨迹圆①或大 于轨迹圆②的粒子,均可射出磁场而不 打在极板上。

图图B •使粒子的速度C •使粒子的速度v>Bm LD •使粒子的速度朋X *旳IX/ * “X 5* —2“ -乂 电 X * X y卜【解答】 AB粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有 r i 2= L 2+ （冷―L）2,得冷=普mv i5BqL 5BqLBq ，得 vi = 4m ，所以 v> 4m 时由r2 =囂，得V 2 =瓷，所以■时粒子能从左边穿出.类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大 小），但入射速度方向不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆 心圆”上一一所谓“圆心圆”，是指以入射点为【例2】如图所示，在0W 0<y 寺范围内有垂直手 xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

坐标原点0处有一个粒子源，：：：："：：在某时刻发射大量质量为 m 、电荷量为 & ―'—'―'―卞 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xOy 平面内，与由粒子能从右边穿出.粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在 0’点，有 圆心.，…以」=号为半径的圆qB...Qy轴正方向的夹角分布在0〜900范围内。

己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间, 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。

求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度的大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径r大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O,入射点O到任一圆心的距离均为r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆” 一一以入射点O为圆心、r为半径的圆周上(如图甲)。

考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起一一取“圆心圆”上不同点为圆心、r为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时(均小于180°),弦长越长，圆心角越大, 粒子在磁场中运动时间越长故轨迹①对应圆心角为图图【解答】设粒子的发射速度为 V ,粒子做圆周运动的 轨道半径为R ,根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：2v qvB = m — R当a/2<Rva 时，在磁场中运动 的时间最长的粒子，其轨迹是圆心 为C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相 切，如图所示，设该粒子在磁场中 运动的时间为t ,依题意，t=T/4时，/ OCA=n /2角为a ，由几何关系得:aRsin ： - R ， Rsin ： -a-Rcos ：2sin 2二'cos 2：二 1R=(2—f)a , ^(^26)aqB，si n：二6^22 m10这类题作图要讲一个小技巧——按粒子偏转方向移 动圆心作图【练习2】如图所示，在正方形区域abed 内充满方向 垂直纸面向里的、磁感应强度为 B 的匀强磁场。

在t=0 时刻，一位于ad 边中点O 的粒子源在abed 平面内发射解得: mv qB设最后离开磁场的粒子的发射方向与 y 轴正方向的夹解得:出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同， 方向与Od边的夹角分布在0〜佃0°范围内。

已知沿Od方向发射的粒子在t=t o 时刻刚好从磁场边界cd 上的p 点 离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正 方形边长L ,粒子重力不计，求：(1) 粒子的比荷q/m ；(2) 假设粒子源发射的粒子在0〜180。

范围内均匀分 布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子 数之比；⑶从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

:b ■X X XX■IIIX X X XIXXXI I IX X X X___________________________________________________________dp c图乙aI I IJ卜dpa X X X xb O■ IlJ■X X X XOX X X：x ：IIX【分析】以L 为半径、O 点为圆心作“圆心圆”（如图 甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开始画起（轨 迹①），在圆心圆”取不同点为圆心、以 L 为半径作出 一系列圆（如图乙）；其中轨迹①与轨迹④对称，在磁场 中运动时间相同；轨迹②并不经过 c 点，轨迹②对应弦 长短于轨迹③对应弦长 即沿轨迹③运动的粒子最后 离开磁场。

【解答】（1）初速度沿 运动的轨迹如图，其圆心为_Onp,6 、 粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提 供，根据牛顿第二定律得2兀宀2兀RBqv = m （——）R ， v =T ' T得 q ——m 6Bt 。

（2）依题意，同一时刻仍在磁场中的粒 子到O 点距离相等。

在t o 时刻仍在磁场中 的粒子应位于以O 为园心，Op 为半径的 弧pw 上。

由图知一 pOw 二Od方向发射的粒子在磁场中n ，由几何关系有：t 。

」126此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为 5/6（3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁 场边界b 点相交，设此粒子运动轨迹对应的圆心角为0,则sin 2罟75 在磁场中运动的最长时间^T二匸二七。

2兀兀所以从粒子发射到全部离开所用时间为t = (12 arcsin匹)t。

4类型三：已知入射点和出射点，但未知初速度大小(即未知半径大小)和方向这类问题的特点是:…所有轨迹圆圆心均在入射点和出【例3】如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向外，大小为B, 沿x轴放置一个垂直于xOy平面的较大的荧光屏，P点位于荧光屏上，在y轴上的A点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量+q的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，P点处在亮线上，已知OA= OP =I,求：(1)若能打到P点，则粒子速度的最小值为多少？(2)若能打到P点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？【分析】粒子既经过A点又经过P点，因此AP连线为粒子轨迹圆的一条弦，圆心必在该弦的中垂线OM上 (如图甲)。

在OM上取不同点为圆心、以圆心和A点连线长度为半径由小到大作出一系列圆 （如图乙），其中 轨迹①对应半径最小，而轨迹②对应粒子是O i 点上方轨 道半径最大的，由图可知其对应圆心角也最大。

如图中圆02所示，此时粒子的初速度方向竖直向上， 由几何关系有：~'2：类型四：已知初、末速度的方向（所在直o 2 n设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为 则粒子在磁场中的运动时间为：t 「T J m2 n qB由图可知，在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹则粒子在磁场中运动的最长时间:3 nm t 二 2qB图1图A 由几何关系知：.* I线），但未知初速度大小（即未知轨道半径大小）【例4】在xOy平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、带电量为+q的带电粒子，由原点0开始沿x正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°（如图所示），已知P到0的距离为L，不计重力的影响。

（1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值；（2）若粒子速度大小为 "輕，试求该圆形磁场区域6m的最小面积。

【分析】初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切，轨迹圆圆心到两条直线的距离（即轨道半径）相等, 因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分 线QC ±（如图甲）；在角平分线QC 上取不同的点为圆心， 由小到大作出一系列轨迹圆（如图乙），其中以C 点为圆 心轨迹①是可能的轨迹圆中半径最大的，其对应的粒子 速度也最大。

【解答】过P 点作末速度所在直线，交x 车轴于Q 点，经 分析可知，粒子在磁场中作圆周运动的轨迹的 NOPQ 的角平分线QC 上,如图甲所示。

「 设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径 牛顿第①：，则由C 、心、必在P2—定律，有q v B v m 则心琴①r qB由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图乙可知，速度最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的C点。

（1）如图丙所示，速度最大时粒子的轨迹圆过0点、且与PQ相切于A点。

［由几何关系^有O Q= t_a n 3,0彳=O Qa n 3,0 可得—②由①、②求得v=^③33m（2）将-乎代入①式，可得“ +，粒子的运动轨迹是6m 6 7如图丁所示的轨迹圆②，该轨迹圆与x轴相切于D点、与PQ相切于E点。

连接DE，由几何关系可知DE =岳2由于D点、E点必须在磁场内，即线段DE在磁场内, 故可知磁场面积最小时必定是以 D示）。