Fn ,
0 Fb
式中
aτ
d2 dt
s
2
,
an
v2
和 ab 0
bτ
z
M
F
r
na
O y
x
是加速度 a 在切线,主法线和副法线正向的投影;F, Fn和 Fb 是合力 F 在相应轴上的投影.上式式就是质点运动微分方 程的自然形式.
质点动力学的基本问题
质点动力学基本问题
ma=F
由微分方程可以解决自由质点动力学的
设开始时绳与铅垂线成偏角 0 ≤ /2 ,并被无初速释放.求
绳中拉力的最大值.
例题2
解:
任意瞬时,质点的加速度在切向和法向的 投影为
aτ
l
d2
dt 2
l,
an
l( d )2
dt
l2
写出质点的自然形式的运动微分方程
G l G sin
(1)
g
G l2 N G cos
( 2)
g

O φ0
φ
M0 M
质点动力学
动力学的任务
动力学的任务：研究作用于物体的力和物体运动之间的一
般关系.
动力学的分类
动力学
质点动力学 质点系动力学
质点--是指具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。
质点系--一群具有某种联系的质点称为质点系,刚体可以看 成不变形的质点系。
质点动力学基础
质点运动微分方程 质点动力学的基本问题 质点的相对运动微分方程
m
d2r dt 2
F
d2x m dt 2 Fx
两类问题.第一类问题:已知运动,求力;第 二类问题:已知力,求运动.
● 解决第一类问题,只需根据质点的已知运动规律 r = r (t),通过导数运算,求出加速度,代入左边各式， 即得作用力 F.
m
d2 y dt 2
Fy
● 求解第二类问题,是积分过程.
m
N = G(3cos 2cos 0)
显然,当质点 M 到达最低位置 = 0时,有最大值.故
G l G sin
(1)
g
G l2 N G cos (2)
g
O
φ0
φ N M0 an
at MG
Nmax = G(3 2cos 0)
例题3
粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平匀速转动，筒内铁 球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能 量，铁球应在θ=θ0 时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转 数n。
例题1
设电梯以不变的加速度a 上升,求放在电梯地板上重G 的物 块M 对地板的压力。
解:
将物体 M 看称自由质点,它受重力 G 和
地板反力 N 的作用。
x
ma = N G
注意到 m = G/g ,则由上式解得
N
M
Ma
N G G a G(1 a )
G
g
g
例题1
N G G a G(1 a )
O φ0
φ N M0 an
at MG
例题2
考虑到
d dd 1 d2 dt d dt 2 d
则式(1)化成
1 d2 g sin 2 d l
对上式采用定积分,把初条件作为积分下限
d
(2
)
( 2g sin )d
0
0
l
从而得
2
2g l
(cos
cos0 )
(4)
把式(4)代入式(2),有
d2z dt 2
Fz
必须注意,在求解第二类问题时, 方程的积分中要出现积分常数,
m
d2s dt 2
Fτ
,
v2
m Fn ,
0 Fb
为了完全确定质点的运动,必须 根据运动的初始条件定出这些
积分常数.
解题步骤
根据题意适当选取某质点或物体作为研究对象。 根据运动特点选取坐标系。若需要建立运动微分方 程，应将质点放在一般位置进行分析，分析个运动 量之间的关系。 受力分析，画受力图。 建立动力学方程组并求解。
碎矿石的作用。
例题4
质量是 m 的物体 M 在均匀重力场中沿铅直线由静止下落,受
到空气阻力的作用.假定阻力 R 与速度平方成比例,即 R=v2 , 阻力系数 单位取 kg/m ,数值由试验测定.试求物体的运动
g
g
上式第一部分称为静压力，第二
M
部分称为附加动压力， N'称为动
压力。
令 n 1 a g
则 N nG
n＞1, 动压力大于静力，这种现象称为超重。
n＜1, 动压力小于静力，这种现象称为失重。
x
N
Ma
G
思考
？ 磅秤指针如何变化
思考
？ 磅秤指针如何变化
例题2
单摆 M 的摆锤重 G ,绳长 l ,悬于固定点 O ,绳的质量不计.
m
d2x dt 2
Fx ,
m
d2 y dt 2
Fy ,
m
d2z dt 2
Fz
z
M
F
r
a
O
y x
Fx, Fy, Fz是作用力 F 的合力法各轴上的投影.上式是 质点运动微分方程的直角坐标形式.
自然形式
m
d2r dt 2
F
如采用自然轴系 Mnb,并把上式向
各轴投影,可得
m
d2s dt 2
Fτ ,
v2 m
动力学的基本定律
惯性定律－质点如不受力作用,则保持其运动状态不 变,即作直线匀速运动或者静止。
力与加速度关系定律－质点因受力作用而产生的加 速度,其方向与力相同,其大小与力成正比而与质量 成反比。
作用力与反作用力定律－任何两个质点相互作用的 力,总是大小相等¸方向相反,沿同一直线同时并分别 作用在这两个质点上。
v πn R 30
例题3
θF FN
mg
于是解得
1
n
30 πR
R m
( FN
mg cos
) 2
当θ=θ0时，铁球将落下，这时FN=0，于 是得
n 9.549
g R
cos
0
显然，0 越小，要求n 越大。当 0 0
时，n 9.549 g ，铁球就会紧贴筒壁转
R
过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉
动力学的基本定律
力的独立作用定律－几个力同时作用于一个 质点时所引起的加速度,等于每个力单独作用 于这个质点时所引起的那些加速度的矢量和。
质点运动微分方程
质点动力学基本方程
以 m 代表质点的质量,以 F 代表该质点所受 的力,a 代表它在 F 作用下获得的加速度,则 第二定律可以表示成 ma = F
即,质点的质量与加速度的乘积,按大小与方向, 等于所受的力。上式称为质点动力学基本方 程。
矢量形式
设有可以自由运动质点 M，质量
是 m，作用力的合力是 F，加速度是 a。
m
d2r dt 2
F
z
M
F
r
a
O
y x
这就是质点的运动微分方程的矢量形式
直角坐标形式
把上式投影到固定直角坐标系 Oxyz 的各轴,得
θ0
n
例题3
θF n
FN mg
解：
视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带
着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度
时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。
质点在上升过程中，受到重力mg、
筒壁的法向反力FN和切向反力F的作用。 列出质点的运动微分方程在主法线上的投
影式
m v2 R
FN
mg cos
质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速 度。即