ai = i aix+ jaiy + kaiz 则有: Rx= aix
4.矢量的矢积 (1)定义: c = a × b
R = ai Rz= aiz
Ry= aiy
c
c a b sin a b


b a
6
(2)直角坐标中的解析表示
i a b ax bx
j ay by
k az bz
y
xE+2xA= c1
xB+(xB - xA) = c2
xC+(xC - xB) = c3
C
E
xD - xC =c4
D
x
18
对上述各式微分得:
2 dxB - dxA = 0 dxD - dxC = 0
dxE + 2 dxA = 0
2 dxC - dxB = 0
8dxD = -d xE
8vD= - vE 8aD= - aE aE = 2 vE =10 aE = 2
18 5
14
二.绪论
1.理论力学的研究对象
(1)机械运动
(2)质点,质点系,刚体和多刚体系统
(3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论
2.理论力学的学习目的 3.理论力学的研究方法 4.理论力学的学习方法
15
例题2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块A和B
的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块A的加速度. 解:
理 论 力一.矢量运算的基本知识 1.单位矢量 2.矢量的加法 3.矢量的标积 4.矢量的矢积 5.矢量的导数
2
二.绪论
1. 理论力学的研究对象 2. 理论力学的学习目的 3. 理论力学的研究方法 4. 理论力学的学习方法
一.矢量运算的基本知识
r 1.单位矢量: r r
2 x A xE c 2 x A xE 0 2A E 0 x x
即: 2a A aE
A O
y
D E
x
17
例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为
xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度. 解:利用绳长不变的约 束条件得:
O A B
a b ab a b b 3 1 4 2 5 5 36 30 1 2 2 52
13
(5) a
0
3i 4 j 5k 3 4 5
2 2 2
3i 4 j 5k 2 5
ba ba b a a
0

1 3 2 4 5 5 32 42 52
d 同理: dt
(5)
(6)
10
(2)旋转矢量的导数
dR d r r dt dt

o
r
R
d r d r dt dt
r´
r r (r r)
R
11
例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) ab (3) a×b (4) ab (5) ba
12
i j k ab 3 4 5 1 2 5
4 5 5 2i 5 1 3 5 j 3 2 4 1k
= 10i -10j +2k
(4) b 0 i 2 j 5k 1 2 2
1 2 5
0
i 2 j 5k 30
计算速度和加速度得:
vE = 2 + 2t 当t = 4s时
代入上述结果得: vD= - 1.25
aD= - 0.25
19
阅读材料和作业
一.阅读材料
(1)P1---P4 (2)P1---P7 ; P491---P497
二.预习材料
(1)P5---P53 ; P144---P150 (2)P1---P17
20
再
见
21
x
8
r i cos j sin
0
y
i sin j cos
0
r
(1)
d k dt
0 j ro o i
x
k r 0 k i cos k j sin

j cos i sin
k k i sin k j cos
k×i = j
7
5.矢量的导数
A A A0
d A d 0 dA 0 d A0 AA A A dt dt dt dt
y r
(1)旋转单位矢量的导数 矢量r 绕垂直于x y平面 过o点的z 轴以角速度逆 时针旋转,单位矢量ro和o 亦同样旋转.
0 o j ro i
解:(1) a+b = (3+1)i + (4+2) j + (5+5) k = 4i + 6j + 10k (2) ab = 3×1 + 4×2 + 5×5 = 36 (3) a×b = 3i ×(i + 2j +5k)+ 4j ×(i + 2j +5k) + 5k ×(i + 2j +5k) = (6k-15j) + (-4k + 20i) + (5j -10i) = 10i -10j +2k






0
(2)
r 0 j sin i cos
(3)
9
dr d i sin j cos dt dt d d 0 k r0 dt dt
0


d 0 0 k r r dt
(2)直角坐标中的解析表示 a = i ax + j ay + k az b = i bx + j by + k bz


a· = ax bx + ay by + az bz b (3)矢量的投影
Al A l 0 矢量A在直线 l 上的投影
5
(4)合矢量投影定理 若R = i Rx+ j Ry+k Rz
m2 m1 aA g m1 m2
O
y
aA aB
xA xB c A B 0 x x xA xB 0
即: a A aB
A
B
x
16
例题3.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块D和E
的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块E的加速度. 解:
x
z k
O
j y
i
ia y bx axby j az bx axbz k axby a y bx
(3)直角坐标系中单位矢量的标积和矢积
i·= j·= k· = 1 i j k
i·= i· = j· = 0 j k k i×i = j×j = k×k = 0 i×j = k j×k = i
o
r
(r>0)
r
z
0
直角坐标系中的
单位矢量:
i , j , k
x
k
O
j
y
i
3
2.矢量的加法 (1)平行四边形法
R=a+b
b
R
c
a
R b
o
R=b+a
R a o b
a
(2)三角形法 a
o
(3)多边形法 R=c+a+b R=a+b+c R=b+c+a
c
b R
b a
a
b c
4
3.矢量的标积
(1)定义: a b a b cos a b c