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中考专题二次函数题型分类总结

一、二次函数的定义1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.练习:1、下列函数中,是二次函数的是 .①y=x 2-4x+1; ②y=2x 2; ③y=2x 2+4x ; ④y=-3x ;⑤y=-2x -1; ⑥y=mx 2+nx+p ; ⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x 。

2、在一定条件下,若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为s=5t 2+2t ,则t =4秒时,该物体所经过的路程为 。

3、若函数y=(m 2+2m -7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。

4、若函数y=(m -2)xm -2+5x+1是关于x 的二次函数,则m 的值为 。

6、已知函数y=(m -1)x m2 +1+5x -3是二次函数,求m 的值。

二、二次函数的对称轴、顶点、最值1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,. 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-.练习:1.抛物线y=2x 2+4x+m 2-m 经过坐标原点,则m 的值为 。

2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= .3.抛物线y=x2+3x的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )B.5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( )A.开口向上,对称轴是y轴B.开口向下,对称轴是y轴C.开口向下,对称轴平行于y轴D.开口向上,对称轴平行于y轴6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-14的顶点的横坐标是2,则m的值是_ .7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。

8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。

9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)x n+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.10.已知二次函数y=x2-2ax+2a+3,当a= 时,该函数y的最小值为0.11.已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1有最小值为0,则m= ______ 。

12.已知二次函数y=x2-4x+m-3的最小值为3,则m=。

三、函数y=ax2+bx+c的图象和性质练习:1.抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。

2.抛物线y=2x 2-12x+25的开口方向是 ,顶点坐标是 。

3.试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x =-2,且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 。

4.二次函数y=3x 2-6x+5,当x>1时,y 随x 的增大而 ;当x<1时,y 随x 的增大而 ;当x=1时,函数有最 值是 。

5.已知函数y=4x 2-mx+5,当x> -2时,y 随x 的增大而增大;当x< -2时,y 随x 的增大而减少;则x =1时,y 的值为 。

6.已知二次函数y=x 2-(m+1)x+1,当x ≥1时,y 随x 的增大而增大,则m 的取值范围是 .7.已知二次函数y=-12 x 2+3x+52 的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3<x 1<x 2<x 3,则y 1,y 2,y 3的大小关系为 .8.通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:(1)y=12 x 2-2x+1 ; (2)y=-3x 2+8x -2; (3)y=-14 x 2+x -49.如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是( )10.试说明函数y=12 (x -3)2 的图象特点及性质(开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值)。

11.某商场以每台2500元进口一批彩电。

如每台售价定为2700元,可卖出400台,以每100元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元?四、二次函数图象的平移及二次函数基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质:上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质:左加右减。

4.()2y a x h k =-+的性质:2、二次函数图象的平移 1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)练习:1.填表:2.已知函数y=2x 2,y=2(x -4)2,和y=2(x+1)2。

(1)分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

(2)分析分别通过怎样的平移。

可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x -4)2和y=2(x+1)2?3.试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

(1)右移2个单位;(2)左移23 个单位;(3)先左移1个单位,再右移4个单位。

5.把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x 2-3x+5,试求b 、c 的值。

6.把抛物线y=-2x 2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由。

7.抛物线y= -32 x 2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得到的抛物线的关系式为 。

8.抛物线y= 2x 2, ,可以得到y=2(x+4}2-3。

9.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为 。

10.如果将抛物线y=2x 2-1的图象向右平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为 。

11.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到y=2x 2-4x -1则a = ,b = ,c = . 12.将抛物线y =ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为 _.五、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;3. 二次函数常用解题方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.下面以0a >时为例,揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系:练习:1. 如果二次函数y =x 2+4x +c 图象与x 轴没有交点,其中c 为整数,则c = (写一个即可)2. 二次函数y =x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为3. 抛物线y =-3x 2+2x -1的图象与x 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4. 如图所示,二次函数y =x 2-4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点, 交y 轴于点C , 则△ABC的面积为( ) A.6 B.4C.3D.15. 已知抛物线y =5x 2+(m -1)x +m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧,它们的距离平方等于为4925,则m 的值为( ) A.-2 B.12C.24D.486. 若二次函数y =(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方,则m 的取值范围是7. 1.抛物线y=x 2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。

8. 2.直线y=7x+1与抛物线y=x 2+3x+5的图象有 个交点。

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