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【精品】高中数学必修5《基本不等式》教案

课题:基本不等式
教材:《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3。

4
一、教学目标:
1、探索并了解基本不等式的证明过程,了解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥"或“≤”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

2、通过实例探究抽象基本不等式,体会特殊到一般的数学思想方法;
3、通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣;
4、培养学生严谨、规范的学习能力,辩证地分析问题的能力,学以致用的能力,分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点和难点:
重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式
2
a b ab +≤的证明过程;
难点:注意基本不等式2
a b
ab +≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大
(小)值问题。

三、教学方法:启发、探究式相结合 四、教学工具:多媒体课件
五、教学过程:
一、问题引入:
如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?
这样,三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为22
a b +二、探究过程:
1.问题探究-—探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a ,b
探究1:
(1)正方形ABCD 的面积S=____ (2)四个直角三角形的面积和
S ’=__ (3)S 与S ’有什么样的关系?。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:
222a b ab +≥
《几何画板》课件动画显示,当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有222a b ab +=。

问题:你能证明这个结论吗? 证明:(作差法) 因为222)(2b a ab b a -=-+ 当b a ≠时,0)(2>-b a 当b a =时,0)(2=-b a
所以,0)(2
≥-b a ,即.2)(2
2
ab b a ≥+
总结结论1: 一般的,如果
)
""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 文字叙述为:两数的平方和不小于积的2倍。

2、从几何图形的面积关系认识基本不等式2
a b
ab +≤ 探究2:
(1)特别的,如果a 〉0,b>0,我们用a 、b 分别代替a 、b ,可得到什么结论?
替换后得到:2a b ab +≥,
)0,0(2
>>≥+b a ab b
a 通常我们把上式写作: (a>0,b>0)2a
b ab +≤(2)你能证明基本不等式2a b
ab +≤
吗? 总结结论2:
(a>0,b>0)2
a b ab +≤当且仅当a=b 时,等号成立.
探究3:
理解基本不等式2
a b
ab +≤的几何意义
在右图中,AB
是圆的直径,点C 是AB 上的一点,AC=a ,BC=b.过点C 作垂直于AB 的弦DE ,
连接AD 、BD
2
a b
+≤的几何解释吗?
易证Rt △A CD ∽Rt △D CB ,或利用相交弦定理,那么2CD =CA CB 即CD =ab .
这个圆的半径为
2b a +,显然,它大于或等于CD ,即ab b
a ≥+2
,其中当且仅当点C 与圆心重合,即a =b 时,等号成立。

2a b
+几何意义是“半径不小于半弦”
当且仅当a=b 时“="号成立
三、应用举例 例1。

(1)用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少?
(2)一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少? 例1反思:
1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若,a b R +
∈,且a +b =M ,M 为定值,则
2
4
M ab ≤
等号当且仅当a =b 时成立。

例2、若x 〉0,求1
y x x
=+的最小值 变1:若x 〈0呢?
变2:若x>3,求1
3
y x x =+
-的最小值 再次归纳小结,加深印象,得到升华: 利用基本不等式求函数最值应注意: ①函数式中相关项必须为正;
②所求函数式中,含变数的各项和或积 必须为定值;
③必须有自变量的值能使函数取到“=”号. 即是:一正、二定、三相等。

四、课堂小结:
2。

两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若,a b R +
∈,且ab =P ,P
为定值,则
a b +≥等号当且仅当a =b 时成立。

1、本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用。

(1)
)
""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
(2(a>0,b>0)2
a b
+≤ 当且仅当a=b 时,等号成立
2、注意公式的正向、逆向使用的条件以及“="成立的条件。

(1)
)
""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
(a>0,b>0)2
a b
+≤
当且仅当a=b 时,等号成立
3、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

五、课堂练习:
1、已知直角三角形的面积等于50,两条直角边各为多少时,两条直角边的
和最小,最小值是多少?
2、用20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应怎样折?
3、若0<x 〈1,求x(1-x )的最大 六、作业与思考:
1、课本P100习题3.4 A 组1﹑2
2、思考:若x 〈0,求x
x 1
+的最大值。

课题:基本不等式
教材:《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4
一、教材分析:
1.教材的地位和作用
基本不等式是《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》第三章的内容,这节
2
a b
+。

这个不等式不管在数学解题还是在
解决实际问题上都有着极大的应用,而学生常常不会利用这个式子或者使用的时候没有注意适用的条件. 2.教学重点和难点:
重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式
2
a b +≤的证明过程;
难点:2
a b
+≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大(小)值问
题。

二、教学目标:
(1)、探索并了解基本不等式的证明过程,了解
这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”或“≤”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

(2)、通过实例探究抽象基本不等式,体会特殊到一般的数学思想方法;
(3)、通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣;(4)、培养学生严谨、规范的学习能力,辩证地分析问题的能力,学以致用的能力,分析问题、解决问题的能力。

三、教学方法:启发、探究式相结合
四、教学工具:多媒体课件
五、教学过程。

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