一元二次方程根的判别、根与系数的关系专项训练1.已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －1)x －2m 2＋m=0（m 为实数）有两个实数根1x 、2x ． （1）当m 为何值时，12x x ≠； （2）若22122x x += ，求m 的值.2. 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．3．已知抛物线22(23).y x m x m =+++（1）m 满足什么条件时，抛物线与x 轴有两个的交点； （2）若抛物线与x 轴两个交点的横坐标分别为12,x x ，且12111x x +=-，求m 的值.4．已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ONOM-=，求k 的值．5.已知关于x 的方程x 2+(2k －1)x +(k －2)(k +1)=0……①和kx 2+2(k －2)x +k －3=0……②. ⑴求证：方程①总有两个不相等的实数根；⑵已知方程②有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围；⑶如果方程②的两个不相等实数根α、β的倒数和等于方程①的一个根，求k 的值.6.已知关于x 的二次函数y =x 2-（2m -1）x +m 2+3m +4.（1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.（2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且21x +22x =5，与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.7. 已知一元二次方程2 10x px q +++=的一根为 2． （1）求q 关于p 的关系式；（2）求证：抛物线2 y x px q =++与x 轴有两个交点；（3）设抛物线2y x px q =++的顶点为 M ，且与 x 轴相交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式．8.已知关于x 的方程21(21)4()02x k x k -++-=（1）求证：无论k 取什么实数，这个方程总有实根；（2）若等腰ABC 的边长a=4，另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长。

答案1.解：（1） △=(m －1)2－4(－2m 2＋m)=m 2－2m ＋1＋8m 2－4m=9m 2－6m ＋1=(3m －1)2……………………………………………3分 要使x 1≠x 2 ， ∴△>0即△=(3m －1)2>0 ∴ m ≠13……………………5分另解：由x 2＋(m －1)x －2m 2＋m=0得x 1=m ，x 2=1－2m要使x 1≠x 2，即m ≠1－2m ，∴m ≠13.（2）∵x 1=m ，x 2=1－2m ，x 12＋x 22=2 ………………………………………………8分∴m 2＋（1－2m ）2=2解得121,15m m =-=. …………………………………………………10分另解： ∵x 1＋x 2=－(m －1) , x 1·x 2=－2m 2＋m ，x 12＋x 22=2∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2=2 [－(m －1)]2－2(－2m 2＋m)=2 5m 2－4m －1=0 ∴m 1=15- , m 2=1.2.解：（1）由题意有22(21)40m m ∆=--≥， ················ 2分 解得14m ≤． 即实数m 的取值范围是14m ≤． ······················· 4分 （2）由22120x x -=得1212()()0x x x x +-=． ················· 5分若120x x +=，即(21)0m --=，解得12m =． ················ 7分 1124>，12m ∴=不合题意，舍去． ···················· 8分 若120x x -=，即12x x = 0∴∆=，由（1）知14m =．故当22120x x -=时，14m =． ······················· 10分4. （1）证明：△=222341()44k k k -⨯⨯-=． ………………2分∵k >0，∴△= 4k 2>0 ． ……………………………3分 ∴此抛物线与x 轴总有两个交点． ………………4分 （2）解：方程22304x kx k +-=的解为1322x k x k ==-或． ……………6分∵11203ON OM -=>，∴OM > ON ．∵k > 0，∴M 3(,0)2k -，N 1(,0)2k∴OM =32k ，ON =12k ． ……………………8分 ∴1111213322ONOMkk-=-=，解得，k =2． ………………………10分6. 解：（1）令y =0，得：x 2-（2m -1）x +m 2+3m +4=0△=（2m -1）2-4（m 2+3m +4）=-16m -15…………………………1分 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m -15＞0∴m ＜-1516此时，y 的图象与x 轴有两个交点………………………………2分 当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m -15=0∴m =-1516此时，y 的图象与x 轴只有一个交点………………………………3分 当△＜0时，方程没有实数根，即-16m -15＜0∴m ＞-1516此时，y 的图象与x 轴没有交点∴当m ＜-1516时，y 的图象与x 轴有两个交点；当m =-1516时，y 的图象与x 轴只有一个交点；当m ＞-1516时，y 的图象与x 轴没有交点.……………………4分（评分时，考生未作结论不扣分）（2）由根与系数的关系得x 1+x 2=2m -1，x 1x 2=m 2+3m +4………………5分21x +22x =（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（2m -1）2-2（m 2+3m +4）=2m 2-10m -7……6分 ∵21x +22x =5，∴2m 2-10m -7=5，∴m 2-5m -6=0解得：m 1=6，m 2=-1 ∵m ＜-1516，∴m =-1∴y =x 2+3x +2……………………………………………………………………7分 令x =0，得y =2，∴二次函数y 的图象与y 轴的交点C 坐标为（0，2） 又y =x 2+3x +2=（x +32）2-14，∴顶点M 的坐标为（-32，-14）设过C （0，2）与M （-32，-14）的直线解析式为y =kx +bk =322= b -14=32k +b ，b =2∴所求的解析式为y =32x +2…………………………………………8分7. （1）解：由题意，得22210p q +++=，即(25)q p =-+． ······ （2 分） （2）证明：∵一元二次方程20x px q ++=的判别式24p q ∆=-，由（1）得2224(25)820(4)40p p p p p ∆=++=++=++>， ······ （3 分） ∴一元二次方程20x px q ++=有两个不相等的实根． ··········· （4 分） ∴抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点． ··············· （5 分）（3）解：抛物线顶点的坐标为2424p q p M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， ············ （6分）∵12x x ，是方程20x px q ++=的两个根，∴1212.x x p x x q +=-⎧⎨=⎩，∴22121212||||()44AB x x x x x x p q =-=+-=- ············ （7分）∴222141||(4)4248AMBq p S AB p q p q -==--△， ··········· （8分） 要使AMB S △最小，只须使24p q -最小．而由（2）得224(4)4p q p -=++，所以当4p =-时，有最小值4，此时AMB S △13q ==，． ·········· （9分） 故抛物线的解析式为243y x x =-+． ················· （10分）【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】解得。