数轴与绝对值专项培优
（一）数轴的应用
一、利用数轴直观地解释相反数；
例1：如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为 。
拓广训练：
1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a
2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。
（北京市“迎春杯”竞赛题） 二、利用数轴比较有理数的大小；
例2：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练：
1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）（“祖冲之杯”邀请赛试题）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2、把满足52≤<a 中的整数a 表示在数轴上，并用不等号连接。
例3：已知0,0<>b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。
（用“<”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题） 拓广训练：
1、 若0,0><n m 且n m >，比较m n n m n m n m --+--,,,,的大小，并用“>”号连接。
三、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例4： 有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ ）
A ．c b a -+32
B ．c b -3
C ．c b +
D ．b c - 拓广训练：
1、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，则化简c c a b b a ------+11的结果为 。
2、已知b b a b a 2=-++，在数轴上给出关于b a ,的四种情况如图所示，则成立的是 。
3、已知有理数c b a ,,在数轴上的对应的位置如下图：则b a c a c -+-+-1化简后的结果是（ ） （湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）
A ．1-b
B ．12--b a
C ．c b a 221--+
D ．b c +-21 四、培优训练
1、（07乐山）如图，数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C ．若
点C 表示的数为1，则点A 表示的数为（ ）
Ａ．7 Ｂ．3 Ｃ．3- Ｄ．2- 2、数d c b a ,,,所对应的点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所示，那么c a +与d b +的大小关系是（ ）
A ．d b c a +<+
B ．d b c a +=+
C ．d b c a +>+
D ．不确定的
3、不相等的有理数c b a ,,在数轴上对应点分别为A ，B ，C ，若c a c b b a -=-+-，那么点B （ ）
A ．在A 、C 点右边
B ．在A 、
C 点左边 C ．在A 、C 点之间
D ．以上均有可能 4、设11++-=x x y ，则下面四个结论中正确的是（ ）（全国初中数学联赛题） A ．y 没有最小值 B ．只一个x 使y 取最小值 C ．有限个x （不止一个）使y 取最小值 D ．有无穷多个x 使y 取最小值 5、在数轴上，点A ，B 分别表示31-和5
1
，则线段AB 的中点所表示的数是 。
6、x 是有理数，则221
95
221100++-
x x 的最小值是 。
7、（南京市中考题）(1)阅读下面材料：
点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，当A 、B 两点中有一点在原点时，
不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，
①如图2，点A 、B
都在原点的右边b a a b a b OA
OB AB -=-=-=-=；
②如图3，点A 、B
都在原点的左边()b a a
b a b OA OB AB -=---=-=-=③如图4，点A 、B
在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=。
综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=。
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么x 为 ；
B
A
O
B
(A)
O
（3）求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值。
（二）绝对值问题
一、去绝对值符号问题
例1：已知3,5==b a 且a b b a -=-那么=+b a 。
拓广训练：
1、已知,3,2,1===c b a 且c b a >>，那么()=-+2
c b a 。
（北京市“迎春杯”竞赛题）
2、若5,8==b a ，且0>+b a ，那么b a -的值是（ ）
A ．3或13
B ．13或-13
C ．3或-3
D ．-3或-13 二、恰当地运用绝对值的几何意义 例2： 11-++x x 的最小值是（ ） 拓广训练：
1、 已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。
2、（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值。
（4）求987-+-+-x x x 的最小值。
三、培优训练
1、如图，有理数b a ,在数轴上的位置如图所示：
则在4,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中，负数共有（ ）（湖北省荆州市竞赛题） A ．3个 B ．1个 C ．4个 D ．2个 2、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数
3、已知a a -=，则化简21---a a 所得的结果为（ ） A ．1- B ．1 C ．32-a D ．a 23-
4、已知40≤≤a ，那么a a -+-32的最大值等于（ ）
A ．1
B ．5
C ．8
D ．9
5、满足b a b a +=-成立的条件是（ ）（湖北省黄冈市竞赛题）
A ．0≥ab
B ．1>ab
C ．0≤ab
D ．1≤ab 6、若52<<x ，则代数式
x
x x
x x x +
---
--2255的值为 。
7、若0>ab ，则
ab
ab b
b a
a -
+
的值等于 。
8、阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道()
()()
0000
<=>⎪⎩
⎪
⎨⎧-=x x x x x x ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 和02=-x ，分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的
零点值）。
在有理数范围内，零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当1-<x 时，原式=()()1221+-=--+-x x x ; （2）当21<≤-x 时，原式=()321=--+x x ； （3）当2≥x 时，原式=1221-=-++x x x 。
综上讨论，原式=()()()
2211123
1
2≥<≤--<⎪⎩
⎪
⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；（2）化简代数式42-++x x。