实数完备性基本 定理之间的等价性
定义1
设闭区间列 {[an , bn ]} 满足如下条件 : 1. [an , bn ] ⊃ [an+1, bn+1] , n = 1, 2, ,
2. lni→m∞(bn − an ) = 0 , 则称 {[an , bn ]} 为闭区间套, 简称区间套.
定义1 中的条件1 实际上等价于条件 a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ≤ ≤ bn ≤ ≤ b2 ≤ b1.
那么 ξ − ξ1 ≤ bn − an → 0.
即 ξ = ξ1, 唯一性得证.
实数完备性基本 定理之间的等价性
数学分析 第七章 实数的完备性
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
推论
设 {[an ,bn]} 是一个区间套, ξ ∈[an , bn ], n = 1, 2, . 则任给ε > 0, 存在 N, 当 n ≥ N 时,
数学分析 第七章 实数的完备性
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
定理7.1（区间套定理）
若 {[an , bn ]} 是一个区间套, 则存在唯一的实数 ξ , 使
ξ ∈[an , bn ],
n = 1, 2, ,
或者
∞
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§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
lim
n→∞
bn=
lni→m∞(bn
−
an
)
+
lim
n→∞
an
=ξ.
因为 {an} 递增, {bn} 递减, 所以
an ≤ ξ ≤ bn , 这样就证明了ξ 的存在性.
下面来证明唯一性. 设 ξ1 也满足 an ≤ ξ1 ≤ bn ,
论不一定成立.
例如对于开区间列

0，n1

,
显然
1.

0,
1 n

⊃

0,
1 n + 1
,
n = 1, 2, ,
2.
lim
n→∞

1 n
−
0

= 0.
但是定理1中的ξ 不存在,
这是因为
∞

0,
n=1
1 n
=
∅.
数学分析 第七章 实数的完备性
[an ,bn ] ⊂ U (ξ ; ε ).
证 由区间套定理的证明可得:
lni= →m∞ an lni= →m∞ bn ξ .
由极限的保号性, 对于任意正数 ε , 存在 N,
当 n ≥ N 时, 有
ξ −ε <a , n
bn < ξ + ε .
即 ξ − ε < an < bn < ξ + ε , 这就是说




bn+1bn b2b1
x
证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an}递增, 有上界b1.
所以由单调有界定理, 可知 {an} 的极限存在.
设
lim
n→∞
an
=ξ
,
从而由定义1 的条件2 可得
数学分析 第七章 实数的完备性
[a2 ,b2 ]
=
[a1 , c1 ].再令c2=来自a2+ 2
b2
,
同样设
f
(c2 )
≠
0，
又得 [a3 ,b3 ]. 无限重复这个过程, 得到{[an ,bn ]}, 满足
(1)
[an ,
bn ] ⊃ [an+1,
bn+1 ]
,
n = 1, 2, ，
(2) lni→m∞(= bn − an )
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
例1 用区间套定理证明连续函数根的存在性定理.
证 设 f 在[a,b]上连续，f (a) f (b) < 0，记[a1,b1] = [a,b].
令c1
=
a1
+ b1 , 2
不妨设
f (c1 ) ≠
0，则
f (a1 ) f (c1 )与
f (c1 ) f (b1 )有一个小于零 (设 f (a1 ) f (c1 ) < 0), 记
数学分析 第七章 实数的完备性
§1 关于实数集完备性的 基本定理
在第一章与第二章 中, 我们已经证明了实数集中 的确界定理、单调有界定理,致 密性定理和柯西收敛准则. 上 述定理反映了实数的一种特性, 这种特性称为完备性. 而有理 数集是不具备这种性质的. 在 本章中, 将着重介绍与上述定 理的等价性定理及其应用.这些 定理是数学分析理论的基石.
ξ
∈[an
,
bn
],
n
= 1,2,3 , 且
lni= →m∞ an
lni= →m∞ bn
ξ . 由(3)及
f 在ξ ∈[a,b]的连续性，得
f
2(ξ ) =
lim
n→∞
f (an ) f (bn )
≤
0.
于是必有 f (ξ ) = 0.
数学分析 第七章 实数的完备性
高等教育出版社
{ξ } = [an , bn ]. n=1



[
a1a2 anan+1


[[
]]

ξ
]



b−a lni= →m∞ 2n−1
0,
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§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
(3) f (an ) f (bn ) < 0，n = 1, 2, 3.
由此可知 {[an ,bn ]} 是一个区间套，因此存在唯一的
一、区间套定理
二、聚点定理与有限覆盖 定理
三、实数完备性基本定理 之间的等价性
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理的等价性
第一讲 区间套定理
数学分析 第七章 实数的完备性
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§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
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§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
大家可以思考一下,对于

0，n1
,
按照定理1 的证
过程, 哪一步通不过?
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§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
[an , bn ] ⊂ (ξ − ε , ξ + ε ).
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区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
注1 该推论有着很强的应用价值, 请大家务必牢记.
注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结