第11讲同角三角函数基本关系式与诱导公式<■概述理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+ cos2x= 1, 沁二tan x；应用诱导公教学重点C0S X式，重点是函数名称”与正负号”的正确判断I I理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+ cos2x= 1, 沁二tan x；应用诱导公教学难点C0s x式，重点是函数名称”与正负号”的正确判断!■■■■■■ ■■■■■■■【教学建议】本节课是在学生掌握了任意角的三角函数的定义单位圆及三角函数线，三角函数值在各象限的符号等知识点的基础上进行的•同角三角函数的基本关系式是三角函数的模块的重点之一也是历年高考考查的热点，为三角函数的求值、关系式的化简、恒等式的证明等提供了知识基础，同时也初步向学生渗透三角函数与代数结合辩证分析的基本思想和方法•【知识导图】1—1 求値问题■教学过程一、导入［考情展望］1•利用同角三角函数的基本关系求三角函数值•2•借助诱导公式化简三角函数式，进而求三角函数值、知识讲解知识点1 •同角三角函数关系1 .平方关系：Sin2a+ COS2a= 1sin a n2.商数关系：tan a= COS—(a亏+ k n k€ Z) cos a 2知识点2诱导公式［方法技巧］诱导公式记忆口诀对于角k n±a^ k^ Z)的三角函数记忆口诀奇变偶不变，符号看象限”奇变偶不变”是指当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变” •符号看象限”是指在a的三角函数值前面加上当a 为锐角时，原函数值的符号”.二、例题精析例题1UKC0S-^-【题干】 的值为( )诟 _ 1 V3 1A. —B. - C •— D.-【答案】D 【解析】化简=' ■ -=■'=例题234_ ■ ■ 5 5C .【答案】 【解析】是角终边上的一点,-叹｝=5i —-故选A .【题干】已知点'：是角汝边上的一点，则s )就尺-cr)=.()A .B .例题3【答案】D 【解析】si™ 57J 心 竝，故选.例题 4【题干】化简 "=()A . sin 2+cos2B . sin 2-cos2C . cos2-si n2D . 土(cos2-si n2)【答案】A【解析】根据诱导公式，化简/l--2—2}=十2J ［歸址。

生2sin2> 0.同書用2| > |cos2| = J(sin2T~cos7)^ =sin2+ c os2又因为•所以选A例题5【题干】已知Sin (( n + a) =-*，且a 是第一象限角 (1 )求cos a 的值(2)求 tan ( n + a ) cos ( n- a) — sin ( + a)的值.【题干】 已知'是第二象限的角，且sinaA .1277B .a.•••是第二象限的角，且siw=htana【答案】(1) —； (2)—【解析】所以cos a 寸1 -吕i 朋Q =_学| 5(1) sin( n a =所以 sin =5且a 是第一象限角cos a—sin111=-tan a cos — sin (——+ a(2=—tan a cos — cos—sin a —四、课堂运用基础【答案】B【解析】4因为」一，且'为第二象限角,s H HS g=--g °,故选B.5in(-100a0) c 05(-2200°) tan(-lO) 心2.给出下列各函数值：①：②：③；④. 其中符号为负的是( )A. ① B .② C. ③ D .④【答案】C【解析】sin (- 1000 ° =si n (—2 >360 °- 280 ° = - sin280 °cos10 °> 0,cos (- 2200 °=cos (- 6 X360 °-40 °=cos40 °> 0,tan (- 10 ) = - tan (3 n+0.58) = - tan (0.58 ) v 0故选：C.41.若’：，且•为第二象限角, £ ana =(3-4D4-3Q3-■3 勲口口 w - 所以：viacosa -—即■-，（舍负），巩固0+ cos 0=，贝U sin 0— cos 0 的值为(5 炳 0 + CQS B = -1 +2 5 in3 cosd =-由：可得—< 6<0— cos9 =— JCsOid — 尸则故选3.已知 a t am =—3是第四象限角，且 “s 饥口 =，则cosa【答案】 —【解析】 v'101~10~ 是第四象限角，且 tana. =—3sina =— 3c osa ，即 将其代入恒等式宀®=1可得航故答案为-v Tsvl7 ~T~ ~T~cTA .B .C.D【答案】D【解析】/17~T- vlit5i na=t O wsi™r ^-3x —=-3\1D 104.已知sintamr =2 n.cofa +5 inStr =5.已知，贝U【答案】1【解析】taivx =2?故答案为：1.功X30”卄眄二*6.已知，则cos (60 —的值为A.C.【答案】【解析】涇cos (60 °-a) =sin[90 — 60 °a) ]=sin (30 ° a) /，故选C.拔高2i ajia • s ma= 3：< tr < 0 5 incr7.已知?，则等于()v-3 1 1Y _T Z 2A.B. C. D .【答案】B2t a7ia ■ s ina= 3ar a a a【解析】由整理可得：2sin2 =3cos ,即：(2cos -1) (cos +2) =0, :c:七十冷itxc&sa原式AHAcarfE-l11-2x2 .—=1 B.-—< 05 二一莒■/ -1 v cosA v 1，解得：cosA=-，由题-，贝U■故选B.8.已知一 「，且’ 一4CQ JK -1 討———rnirif-H 2£(1 )求的值;(2 )求4^inirosx — cos :x的值.7&4【答案】(1) ：; (2)'：【解析】SIJ1X+；(1 )••• :25 inxcosx31 35x e (― rr.O)?(jiwt-cojx)2 =1-25 injcco5x= £/• sinx v 0, cosx > 0,二 sinx - cosx v 0,-(2 )由(1)知,5inx+C05T=右7S ITUi — C 吵耳=—-*s;nx =-，解得4 x3COSX= T t (rnx=--? ?£ UTJt+jt ■血*课堂小结P1由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围.2•注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号•注意“ 1的灵活代换.3•应用诱导公式，重点是函数名称”与正负号的勺正确判断.基础自讯（一 2055°）=（）v'6->,r 24小44A .B .C .D .【答案】C【解析】H 琐-2055°) = -5in20SS c =-sirt(Sx36O fl + 2S5°) =-sin2SS° =-sin(180o + 7S G ) = 5fn7S p^Jinf45fl + 30J )=5故选C.iff 3；ere (-J.0) suwt =-- cosa=2•已知，，贝U ____________【解析】住色（一?0） sirur =—-由题「，'tan( 4- a) = t a nr = 结PMIE 44【答案】： 4 即答案为（1）.- (2).3.已知a€ 3n n2 ,tan a= 2,贝V COS a= _______ sin a= ________【答案】cos a=—sin2”5 5课后作业fem 仗 +<r)二?ccj£i=Vl - nM-n =-则【解析】依题意得ta n a=sin aCOSasin2a+ COS2a= 1 ,由此解得cos2a= 5；又妖(n予,因此cos—尊Sin 2.55 巩固4.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin =—，贝V sin = ____________ .31【答案】丄3【解析】因为与关于y轴对称，则2k ，所以sin 2k1 sin —35.已知【答案】【解析】五严丽平方可得:sm()C 0^(- )+ t an{ )6•计算：^ _【答案】0【解析】4 cos( -y +:an(yff) -s+r tjn-^ - i + ( - +拔高7. 已知COS(75 °+ a= 一，a是第三象限角，(1) 求sin(75 °+ a 的值.(2) 求COS(a—15 ° 的值.⑶求sin(195 —a+cos(105O—a的值.12 12 10【答案】(1)—：；(2)—：; (3):【解析】(1) v COS(75 °+o)=…>0, a是第三象限角, 二75°+ a是第四象限角，-^1—^05^(75* + ct)=——且sin(75°a = Li12(2) cos a—15°)= cos[90 —(75 °+ "]= sin(75 ° a= —■(3) sin(195。

一a +cos(105O— a=sin[180 0+ (15。

一a]+cos[180O0—(75 ° "]=—si n(15 — a —cos(75 + a=—sin[90 —(75 + 咖一cos(75 °+ ain=—2cos(75 °+M= ：18. 已知a是三角形的内角，且sin a+ cos a= 5.(1) 求tan a的值；(2) 把厂」厂用tan a表示出来，并求其值.cos1 2 3 4 5a—sin2a1【解析】(1)联立方程sin a+ cos a= 7", ① sin2a+ cos2a= 1 , ②51由①得cos a=- —sin a将其代入②，整理得25sin2a—5sin a—12= 0.[2分] 5sin a= 4 cos a= — 6 , ［4 分］5 5••• tan a= — 4.［6 分］・2 i 2sin a+ cos asin 7 a+ cos 2 a cos 2 a tan 2 a+ 1 2 cos 2 a 2 tan a+ 19. 在A ABC 中，若 sin(2 — A)——Q 2sin( sin A — V 2si n B , 由已知得 ■y 3cos A —寸 2cos B ,①2 + ② 2 得 2cos 2A — 1,即 cos A — ±22.(1)当cos A —子时，cos B —于，又A 、B 是三角形的内角,n n7…A —4, B —6，…c —冗一(A + B) —12n .⑵当cos A — —孑时，cos B ——于.又A 、B 是三角形的内角，3 5n n 7•-A — 4n B — 6n 不合题意•综上知，A — 4,B — 6，C — 12冗.a 10 分］7—厂［8分］cos a — sin a 1 — tan a4 2 2+ 1 3 +1 1 - -32275.［12分］a 是三角形的内角，.cos 2 a 2 - 2 COS a — Sin a •/ tan a= — 3, 3 ____12 ・ 2 — 2 cos a — sin a 1 — tan —B), Q3cos A =—{2cos( — B)，求△ABC 的三个内角. ①【解析】■I教学反思B。