用等价无穷小大患求极限的误区及一点补充
摘要：等价无穷小代换方法是求极限中最常用的方法之一，利用等价无穷小代换求极限可以简化计算。

分析了学生用等价无穷小代换求极限的常见错误；探讨了极限式中的和差项用等价无穷小代换的条件，并给出了相应的实例。

关键词：等价无穷小；代换；极限
等价无穷小代换方法是求极限中最常用的方法之一，恰当地选择要代换的无穷小，可以简化计算，因而也倍受青睐，但学生在应用时玩玩会出现一些常见的错误，下面就错误的根源做了相应的理论分析，并对等价无穷小代换定理做了一些补充，解决了困扰学生的问题，对学生掌握等价无穷小代换方法有着重要意义。

为了叙述方便，在以下讨论中，极限过程都指同一个变量的变化过程。

若'
lim αα
=1，则称α与'α是该过程中的等价无穷小，记作α~]
2['~αα。

关于等价无穷小代换，最常用的定理
是：
定理1 设α~'α，'~ββ，且''lim βα存在，则βαlim 存在，且βαlim = ]
1['
'
lim
βα。

推论1 设α~'α，'~ββ，且()''lim
βχαf 存在，则()'lim βχαf 存在，且()'
lim βχαf = ()]
2['
'lim
βχαf 。

推论 2 设α~
'α，且()χαf 'lim 存在，则()χαf lim 存在，且
()χαf lim =()
]
2['lim χαf 。

有上述定理及其推论可知，等价无穷小的代换，是分子或分母的整体代换，或分子、分母的分因式代换，是对极限式中的积商因子的代换，这是很多教材中都会提到的。

学生在利用等价无穷小代换计算极限时往往容易出错，究其原因，是弄不清楚代换的原理及对象，另外就是对无穷小的等价概念不清楚。

见下例。

例1：
χ
χ
χχ
3
tan sin lim -→
错解：当0→χ时，χχ~sin ，χχ~tan ，故有以下几种错误的结果;
(1)
χ
χ
χχ
3
tan sin lim -→=
χ
χ
χχ
3
lim -→ =0；
(2)
χ
χ
χχ
3
0tan sin lim -→=
χ
χ
χχ
3
0tan lim -→=31
-
； （3）
χ
χ
χχ
3
tan sin lim -→=
χ
χ
χχ
3
sin lim -→=6
1-。

分析：以上错误在于对极限式中的无穷小进行了无条件的代换，若要依据定理1及其
推论来解，必须是对分子或分母进行整体代换，或者通过恒等变形后对其中的积商因子进行代换
]
3[。

如下：
正解：当0→χ时，χχ~tan ，χχ2
2
1~
cos 1-， χ
χ
χχ
3
tan sin lim -→=
()
χ
χχχ
3
1cos tan lim -→=
χ
χχχ
3
20
21lim ⎪⎭
⎫
⎝⎛-
→=2
1
-。

例2：
χχ
χχ3sin sin 2tan 3lim 0
-→ 解：χχ
χχ3sin sin 2tan 3lim 0-→=χχχχ3cos 3cos 3sec 3lim 2
-→=31
分析：此法是利用洛必达法则求解0
型不定式；有学生用等价无穷小代换来解，得：当0→χ时，χχ~sin ，χχ~
tan ，
故
χχχχ3sin sin 2tan 3lim 0-→=χχχχ323lim 0
-→=31
， 于是错误的得出结论：极限式中的和差项也可无条件的用等价无穷小换来求解极限。

关于和差项能否用等价无穷小代换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况下不能随意使用。

这就会使学生产生困惑，例2中的和差项为什么进行等价无穷小的代换后结果正确，不知道问题出在哪里。

为解决学生的困惑，下面就和差项的等价无穷小代换做一些补充。

定理2 设α~'α，'~ββ，且C =β
α
lim ， 若1-≠C ，则''~βαβα++； 若1≠C ，则''~βαβα--。

证明：若1-≠C ，
'
'lim βαβα++=βββαβα
''1
lim ++=βββββαβα'''1lim +•+
因为'~ββ，所以1'lim
=β
β，又定理1，C ==βα
βαlim ''lim ， 所以
''lim
βαβα++=1
1
++C C =1，即''~βαβα++； 同理，若1-≠C ，
''lim βαβα--=βββαβα
''1
lim --=βββββαβα'''1lim -⋅-=11--C C =1，
即''~βαβα--。

推论 设α~'α，'~ββ，'~γγ，'~μμ，且1lim
≠βαb a ，1lim ≠μ
γ
d c ，d c b a ，，，为常数，则当''''lim
μγβαd c b a ±±存在时，有μγβαd c b a ±±lim =]
2['
''
'lim μγβαd c b a ±±。

证明：
μγβαd c b a ±±lim =μβμγβαd b d c b a ⋅±±11
lim ；
'
'''lim μγβαd c b a ±±=''1'
'1
''
lim μβμγβαd b d c b a ⋅±±
由定理1及其推论得
1''
lim lim
≠=βαβαb a b a ， 1'
'lim lim
≠=μγμγd c d c ，
μβd b lim
='
'lim μβd b ， 所以
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±1lim βαb a =01''lim ≠⎪⎪⎭⎫
⎝⎛±βαb a ，
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±1lim μγd c =01''lim ≠⎪⎪⎭⎫
⎝⎛±μλd c ，
所以
μγβαd c b a ±±lim
='
''
'lim μγβαd c b a ±±。

利用定理2及其推论，上述例2可解如下： 当0→χ时，χχ~tan ，χχ~sin ，故
χχχsin 2tan 3lim 0→=χχχ23lim 0
→=123
≠， 所以
χχχχ3sin sin 2tan 3lim 0-→=χχχχ323lim 0-→=χχχ3lim 0
→=31
上例说明：和差项并不是绝对不能做等价无穷小代换，只要注意验证定理条
件满足即可。

例3：χ
χχ
χχ3sin 2tan lim
2
2
22
+-→
此题若用洛必达法则求，需连续使用两次才能求解出结果，花费时间长，而且求导过程中极易出错；若用等价无穷小代换求解，过程简单明了，解如下：
当0→χ时，χχ22tan 2
2
~，χ
χ2
2
~
sin ，
故
χ
χ
χ
2
2
2tan lim →=χ
χ
χ2
2
2lim
→=12≠；
χχχ3sin lim 2
2
→=χ
χχ
3lim 2
20
→13
1
-≠=
； 所以
χχχ
χχ3sin 2tan lim 2
2
22
+-→=χχχ
χχ32lim 2
2
220
+-→=χ
χχ4lim 2
2
→=4
1
总而言之，恰当地使用等价无穷小代换求极限，可以简化计算，但是代换前要验证定理满足的条件。

参考文献：
[1] 同济大学应用数学系，高等数学[M].第五版.北京高等教育出版社,2002,58 [2] 魏国祥,张隆辉,成明山.关于等价无穷小替换求极限方法的推广[J].四川教育学院,2008,24(5):111-112
[3]吴维峰.对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨[J].潍坊教育学院学报,2008,21(2):22~23。