x
k
比的极限不能为零。
1 cos x ~
例5
1 2 x , 2 x ~ sin 2 x ~ tan 2 x ． 2
， （2） lim
求下列函数的极限
（1） lim
1 cos x x 0 3x 2
tan x sin x ． x 0 x3
1 2 x 1 cos x 1 1 2 lim （ x 0 ,1 cos x ~ x 2 ） 解 （1） lim = ． 2 2 x 0 x 0 6 2 3x 3x tan x sin x sin x(1 cos x) （2） lim = lim 3 x 0 x 0 sin x x 3 cos x sin x (1 cos x) 1 lim x 0 x cos x x2 2 sin 2
由此看出，当 x→0 时，tg x –sin x 是 x 的三阶无穷小，事实上
此题错误解法： 解：因为
lim
tgx sin x tgx sin x lim 0 x 0 x 0 x x x
所以，当 x→0 时，tg x –sin x 是 x 的一阶无穷小 这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，β与 2．利用等价无穷小代换求极限 常用等价无穷小有：当 x 0 时, x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) ~ e 1 ,
lim
2x 1 x 0 x( 1 x 1 x )
②通过三角函数的公式将原式变形
因为
sin x sin x(1 cos x) sin x cos x cos x 1 sin x～x， 1-cos x～ x2 2 tgx sin x 1 x x2 sin x(1 cos x) 1 lim lim 3 2 3 x 0 x 0 x cos x x cos x 2
= lim
x 0
x 2
2
Байду номын сангаас
x2 x x ~ ） ． （ x 0 , sin 2 2
2
1 = 2
小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式 时，一般不能代换其中一项。否则会出错． 如上题 lim
tan x sin x xx lim 3 0 , 即得一错误结果． 3 x 0 x 0 x sin x