回顾小结
1.推理:
从一个或几个已知命题得出另一个新命题 的思维过程称为推理.
2.归纳推理: 即由特殊到一般;由部分到整体
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
【引例1】 观察下列算式
及右图：
1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
合情推理
－－归纳推理
教学目标
1.了解归纳推理的概念及其特点；
2.了解归纳推理的过程；
3.能正确地运用归纳推理进行简单 的推理。
歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇 质数之和”
即:偶数＝奇质数＋奇质数
从而简称 １+１
前提:
6＝3+3， 8＝3+5， 10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, 18 =7+11,
你能得出怎样的结论？ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + +(2n – 1)=n2
定义：
由某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物 的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实 概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）
特点：
（1）由部分到整体、由个别到一般 （2）推理要在观察和实验的基础上进行 （3）能够发现新事实、获得新结论
小结 ☞
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳推理
合情推理 类比推理
归纳、 类比
提出 猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
例题４：请同学们看课本P26 （３分钟）
B
P
S1
பைடு நூலகம்
S2 D
S3
F
C
AE
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用.
有生命存在
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”.
20=7+13 …， 1000＝29+971 1002=139+863,
…
结论:
“任何不小于６的偶数都可以 表示为两个素数之和”
----歌德巴赫猜想
哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於 1966年证明的，称为陈氏定理 .“任何充份大 的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後 者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这 个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
(n
1)
1,
n1 n2
n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) 15 f (3) 1 f (3)
归纳: f (n) 2n 1
f
(n)
1, 2 f
13 1 13 23 9 32 (1 2)2
13 23 33 36 62 (1 2 3)2 13 23 33 43 100
13 23 33 L n3 (1 2 3 L n)2
( n(n 1))2 2
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
n=1时, f (1) 1
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
你是否想过“等和数列”、“等积数 列” ？
从第二项起，每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类 推
从第二项起，每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
于弦.
圆心连线垂直于截面圆.
实验、观察
概括、推广
猜测一般 性结论
⑴ 以下归纳推理的结论正确吗？
2 费马猜想：任何形如 2+n 1（n∈N*）的数都是质数．
反例：
在创造发明中， 人们经常应用 类比
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
n=3时, f (3) 3 13
f (2) 1 f (2)
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2)
例１、已知数列{an}中，a1=1，且
an+1=
1
a
n
a
n
(n=1,2,…)
试归纳出这个数列的通项公式。
解：由递推公式
a n1
an 1 an
及a1=1 将n=1、２、3、代入可得
1
1
1
1
a2 2 , a3 3 , a4 4 , a5 5
归纳得a n
1 n
练习、
1、观察下列式子，归纳结论：
与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面
心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两
近的弦较长.
截面圆面积不等,距球心较近
的截面圆面积较大.
以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
类比推理的结论不一定成立
1）找出两事物的相似性和一致性。2）用一 类事物的性质去推测另一类事物的性质得出 明确的命题
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
试根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质：
(1) a b a c b c ; (2) a b ac bc ; (3) a b a2 b2;等等.
类比推理的结论不一定成立.
类比推理 类比推理 注意
一般步骤
由特殊到特殊的推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能