B( x0, y0, z0 )
而 AB (x0 1, y0 2, z0 1) L1
3(x0 1) 2( y0 2) (z0 1) 0 将 x0 2 y0, z0 y0 代入上式 , 得
AB ( 9 , 6 , 15 ) 3 ( 3, 2, 5) 77 7 7
由点法式得所求直线方程
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取
s
BA
(2, 0, 4),
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
i jk
s s1 n 3 2 1 3(3 i 2 j 5 k)
3 3 3
故所求直线方程为
x 1 3
y2 2
z 1 5
方法2 利用所求直线与L2 的交点 . 设所求直线与 L2的交点为 B(x0, y0, z0),
则有 即
x0 2
y0
z0 1
x0 2 y0, z0 y0
A(1, 2,1) L2
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 (4,1,3),
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相
交，求其方程.
y
z
0上
的投影直线方程.
六、小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
2. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 , p1
x 1 y 2 z 1
3
2 5
A(1, 2,1) L2
B( x0, y0, z0 )
解：方法1 利用叉积.
设直线 Li的方向向量为 si (i 1,2), 过 A 点及L2 的平
面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 s s1 n , n
因原点 O 在 L2 上, 所以
A
i jk
n s2 OA 2 1 1 3 i 3 j 3k O
L2 s2
121
待求直线的方向向量
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解 设所求直线的方向向量为 s (m, n, p),
根据题意知
s n1 ,
s n2 ,
取
s n1 n2 (4, 3, 1),
所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 .
4
3
1
例7. 求直线
与平面
t
的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
______________；
5、直线 x y z 和平面3x 2 y 7z 8 的关系是 3 2 7
____________；
6、直线 x 2 y 2 z 3 和平面x y z 3 的关
3
1 4
系是_________ .
二、 用 对 称 式 方 程 及 参 数 方 程 表 示 直 线L ：
x y z 1 2x y z 4
.
三、 求过点( 3 , 1 ,2 ) 且通过直线 x 4 y 3 z 的
5
21
平面方程 .
四、求直线
2 3
x x
4y z y 2z
0 9
0
在平面 4 x
y
z
1上
的投影直线的方程 .
五、 求与已知直线L1
：x 3 2
y5 3
z 1
及L2
：
直线
L2：x
x2 m2
y y2 n2
z z2 , p2
L1 L2
s1 s2 0
L1 // L2
s1 s2 0
夹角公式: cos s1 s2
s1 s2
m1 n1 p1 m2 n2 p2
3. 面与线间的关系
平面 : Ax B y C z D 0, n (A, B ,C )
L : x x0 y y0 z z0 , s (m, n, p),
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n (A, B,C),
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin
cos
2
cos
2
.
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
x 10 5
y7 4
z 1
都相交且和L3
：
x 2 y 1 z 3 平行的直线L .
8
7
1
六、设一平面垂直于平面z 0 ,并通过从点A( 1 ,1 , 1 )
到直线L
：
y x
z 1 0
0 的垂线，求此平面的方程
.
七、 求两直线L1
：x1 0
y 1
z 1
和L2
：x 2
y 1
z
0
2
的公垂线L 的方程，及公垂线段的长 .
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
例 6 求过点(3, 2,5)且与两平面x 4z 3 和 2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
思考题解答
s {2m, n, 6 p},
且有
s
0.
s
k
0,
s
i
0,
s
6 2m 0,
p0 0 n
0,
p
6,
m 0,
故当 m 0, n 0, p 6时结论成立．
一、填空题：
练习题
1、通过点( 4 ,1 , 3 ) 且平行于直线 x 3 y z 1
2
5
的直线方程为______________；
cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
从而
4
例 4 求直线53xx32yy3zz1900与直线
2x
3
x
2 8
y y
z z
23 18
0的夹角余弦. 0
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
2
当直线与平面垂直时,规定其夹角
八、求过点(1 , 0 , 4 ) 且平行于平面
3 x 4 y z 10 0 又与直线 x 1 y 3 z 相交
1
13
的直线方程 .
九、
求
点
P
(
3
,1
,
2
)
到
直
线
x y z 2x y
1 0 z4
0
的
距
离.
练习题答案
一、1、 x 4 y 1 z 3 ； 2、0； 3、0； 215
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1)
L
A B C. mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 5 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解 n (1, 1, 2), s (2, 1, 2),
2、 直线53
x x
3 2
y y
3z 9 z1 0
0
与直线
2 3
x x
2 8
y y
z z
23 18
0 0
的夹角的余弦为__________；
3、 直
线
x x
y y
3z 0 z0
和平面
x
y
z
1
0
在平
面 x 2 y z 1 0上的夹角为___________；
4、点(1 , 2 , 0 )在平面x 2 y z 1 0上的投影为
为直线 L 的平面束方程.
例9.求直线
在平面
上的投影直线方程. 提示：过已知直线的平面束方程
x y z 1 (x y z 1) 0
即
从中选择 使其与已知平面垂直：