t
, 则直线的方程变成：
x x 0 mt
y y 0 nt
z
z
0
pt
（t为参数） ----------空间直线L的参 数式方程
4
例1、过点（-1，2，0.8）且以rs
r 3i
r 0.2 j
r 10k
为方向向量
的直线的标准式方程和参数式方程。
解： 直线的标准式方程：
x 1 3
y2 0.2
8
当ur两条ur 直线 L1 、L2相交时，设两条直线的夹角为 ，而方向 向量s1 、s 2 的夹角为 ，则 或
2、直线与平面的位置关系
设直线L的方程为：
xx0 m
yy0 n
zz0 p
平面 的方程为：Ax By Cz D 0
则有：L //
儍
rr sn
rr
L 儍 s // n
故（1.-1.0）为直线上一点 .
rr r
r ur uur i j k
rr
r
s n1 n2 2 3 1 5i 7 j 11k
3 1 2
直线的标准式方程：x51
y 1 7
z 11
7
练习
将直线L的一般方程
x2 z50
化成标准式方程.
y6 z70
二、直线与直线、直线与平面间的关系
建立了直线与平面的方程，就可以通过方程来讨论直线 与直线、直线与平面的位置关系.
即 x 13 y 10 z 5 0
x12t
例3、求 平行于两直线
y 2
（t为参数）及
z0
x2 3
直线过两点 M 1( x1. y1. z1) M 2( x 2. y 2. z 2) , 则直线的两点式
方程为：
xx1 x2x1
y y1 y 2 y1
zz1 z 2z1
4、直线的一般方程
一条直线可以看成是过此直线的两个平面的交线， 故直线方程可以用两个平面方程联立起来表示。
设两个相交的平面方程为：
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 A1 x B1 y C 1 z D1 0
则它们的交线L的方程为：
A1 x B1 yC 1 z D10 A2 x B 2 yC 2 z D 20
-------空间直线的一般方程
6
例
将直线L的一般方程
2
x3
y
z
50
化成标准式方程.
3x y2 z20
解 令z 0代入原方程组， 得
2 x3 y5
3x y2
解此方程组得 x 1 y 1
第六节 空间直线及其方程
本节内容提要 一、空间直线的几种形式 二、直线与直线、直线与平面间的关系 三、利用直线与平面其间的关系，求解综合题
1
教学目的： 使学生了解空间直线的几种形式，并会其间的 转换，会根据所给条件求直线方程，了解直线 与直线、直线与平面间的关系，会利用直线与 平面间的关系求解综合性题目。
mA nB pC 0
m A
n B
p C
当直线 L 和平面 相交时，直线 L 与它在平面上的投影线
之间的夹角
（0
2
）称为直线
L与平面
的夹角。
如图
9
设直线的方向向量 rs与平面法向量 nr的夹角为 ，则：
2
（或
2
）
rr
sn
因此 sin cos r r
mAnB pC
sn
m2 n2 p2 A2 B2 C2
例
求直线L：x12
y3 1
z4 2
与平面 ：2 x
y
z
6
0的夹角
解： 设直线L与平面 的夹角 为，则：
sin
uur r co（ s s、n）
212 6 6
1 2
6
三、利用直线与平面其间的关系，求解综合题
例1、求过点（-3.2.5）且与两平面 x 4 y 3 和 2x y 5z 1 的交线平行的直线方程。
L：x 3 2
y 1
z2 1
的平面方程。
解： 由直线 L 的方程可知：
11
直线直L的线方上向一向点M量rs （0 2..r-1.r2）r ，平面的法向量垂直于MuuuMuur0
及
r uuuuur ur i j k
r
r
r
n MM 0 S 1 3 4 i 13 j 10k
3 1 1
所求的平面方程为 x1 +13 y-2 +10 z+2 =0
1、直线与直线的位置关系
设直线L1 和直线L2 的方程分别为：
L1 :
xx1 m1
y y1 n1
zz1 p1
L2
:
xx2 m2
yy2 n2
zz2 p2
则：L1 // L2
儍
uur uur S 1 // S 2
ur ur L1 L2 儍 s1 s2
m1 m2
n1 n2
p1 p2
m1m2 n1n2 p1 p 2 0
(1)
------直线的标准式方程（或点向式方程）
注：因为 sr 0 ，所以 m、n、p 中可以有一个或两个数为
零，规定（1）式中若分母为零，则其相应的分子也为零。
如：m 0 ，则直线L的方程为： y y 0 z z 0
n
p
x x 0 0
2、直线的参数式方程
令 xx0
m
yy0 n
zz0 p
重点、难点：求空间直线方程 教学方法： 启发式教学法 教学手段： 多媒体课件和面授讲解相结合 教学时数： 2课时
2
一、空间直线的几种形式
过一点做一条且仅做一条与一条已知直线平行的直线，我 们利用这一点建立直线方程.
1、直线的标准式方程
定线L义的：方若向一向非量零，向一量般与用一sr条表直示线。L由平定行义，可则知称直该线向的量方为向直
z 0.8 10
x13t
直线的参数式方程：
y20.2t
（t为参数）
z 0.810t
例2、求过点（1.1.-2）且垂直于平面2x 3z 0 的直线方程。
解：因为所求直线垂直于平面，所以这个平面的法向量可
以做为所求直线的方向向量，即
r s
2.0.3
x 1 2
y 1 0
z2 3
5
3、直线的两点式方程
向量不唯一。
已知直线L上一点 M（0 x0，y0.z0）和直线L的方向向
量 sr m.n. p，建立该直线L的方程.
在uuu直uuur线L上任取一点M（x.y.z）
M 0 M x x 0，y y 0，z-z0
因为sr // L
，所以sr
//
uuuuuur M 0M
3
xx0 m
yy0 n
zz0 p
10
解：设所求直线的方向向量为
r s
因为所求直线与两平面的交线平行，所以
r s
垂直于两平
面的法向量。 r r r
r ur uur i j k
r rr
s n1 n2 1 0 4 4i 3 j k
2 1 5
所求直线为：
x3 4
y2 3
z5 1
即
x3 4
y2 3
z5 1
例2、求通过点M（1.2.-2）且通过直线