第3章 多维随机变量及其分布一、选择题1．设,X Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()(),X Y F x F y ，则()min ,Z X Y =的分布函数是（ ）(A) ()()()max ,Z X Y F z F z F z =⎡⎤⎣⎦ (B) ()()()min ,Z X Y F z F z F z =⎡⎤⎣⎦ (C) ()()()111Z X Y F z F z F z =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (D) ()()Z Y F z F y =2．设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1) 和 N(1,1)，则（A ）21)0(=≤+Y X P （B ）21)1(=≤+Y X P （C ）21)0(=≤-Y X P （D ）21)1(=≤-Y X P3．设二维随机变量(),X Y 服从于二维正态分布，则下列说法不正确的是（ ） (A) ,X Y 一定相互独立 (B) ,X Y 的任意线性组合12l X l Y +服从于一维正态分布 (C) ,X Y 分别服从于一维正态分布 (D) 当参数0ρ=时，,X Y 相互独立4．,ξη相互独立且在[]0,1上服从均匀分布，则使方程220x x ξη++=有实根的概率为（ ） (A) 13 (B) 12 (C) 0.4930 (D) 4 5．设随机变量,X Y 都服从正态分布，则（ ）(A) X Y +一定服从正态分布 (B) ,X Y 不相关与独立等价 (C) (),X Y 一定服从正态分布 (D) (),X Y -未必服从正态分布6．设随机变量X, Y 相互独立，且X 服从正态分布),0(21σN ，Y 服从正态分布),0(22σN ，则概率)1|(|<-Y X P（A ）随1σ与2σ的减少而减少 （B ）随1σ与2σ的增加而减少 （C ）随1σ的增加而减少，随2σ的减少而增加 （D ）随1σ的增加而增加，随2σ的减少而减少7．设),(Y X 的联合概率密度为： ⎩⎨⎧<+=,,0;1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为（A ） 独立同分布 （B ）独立不同分布 （C ）不独立同分布 （D ）不独立不同分布 8．设X i ~ N (0 , 4), i =1, 2, 3, 且相互独立, 则 ( ) 成立。

（A ）)1,0(~41N X （B ）)1,0(~832N X X + （C ）)8,0(~321N X X X ++ （D ）X 1+X 2 –X 3 ~N (0, 4)9．已知随机变量 (X, Y) 在区域 D={(x,y)|-1<x<1,-1<y<1} 上服从均匀分布，则 （A ）41)0(=≥+Y X P （B ）41)0(=≥-Y X P （C ）41)0),(max(=≥Y X P （D ）41)0),(min(=≥Y X P10． 设两个随机变量 X 与 Y 相互独立同分布：21)1()1(=-==-=Y P X P ，21)1()1(====Y P X P ，则下列各式中成立的是 （A ）21)(==Y X P （B ）1)(==Y X P （C ）41)0(==+Y X P （D ）41)1(==XY P11．设随机变量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-412141101~i X (i=1,2)，且满足1)0(21==X X P ，则)(21X X P =等于(A) 0 (B) 41 (C) 21(D) 1二、填空题1．设,X Y 是两个随机变量，且{}30,07P X Y ≥≥=，{}{}4007P X P Y ≥=≥=，则(){}max ,0P X Y ≥=2．设平面区域D 由曲线1xy =及直线20,1,y x x e ===所围成，二维随机变量(),X Y 在区域D 上服从于均匀分布，则(),X Y 关于X 的边缘概率密度函数在2x =处的值为3．设随机变量,X Y 同分布，X 的概率密度为()230280x x f x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它，已知事件{}{},A X a B Y a =>=>相互独立，且()34P A B +=，则a =4．设二维随机变量(X, Y)的分布律为已知21)0|1(===X Y P ，31)0|1(===Y X P ，则a= , b= ,c= 。

5．已知X, Y 概率分布分别为21)0()1(====X P X P ，43)1(==Y P ，41)0(==Y P ，且21)0(==XY P ，则P(X=Y)= 。

6．将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次中出现正面的次数,以Y 表示3次中出现正面的次数,则 P(Y=2|X=2) = 。

7．设X 与Y 相互独立，均服从[1, 3]上的均匀分布，记A={X ≤a }，B={Y>a}，且97)(=⋃B A P ，则a= 。

8．）设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X, Y)的联合分布律记关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：三、简答题1．设二维随机变量（,X Y ）的概率分布为其中a 、b 、c 为常数，且X 的数学期望EX=- 0.2， P{Y ≤0 / X ≤0}=0.5，记Z=X+Y 求：（1）a 、b 、c 的值；（2）Z 的概率分布；（3）P{X=Z}。

2．设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1)，且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求： （1）在发车时有n 位乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量 (X, Y) 的概率分布； （3）求关于Y 的边缘分布。

3．设A ，B 为两个随机事件，且41)(=A P ，31)|(=A B P ，21)|(=B A P ，令⎩⎨⎧=，不发生，发生A ,0A ,1X ⎩⎨⎧=，不发生，发生B ,0B ,1Y（1）求(X, Y)的概率分布；（2）求22Y X Z +=的概率分布。

4．设二维随机变量(X, Y)的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=,,0;10,10,2),(他其y x y x y x f（1）求P(X>2Y)； （2）求Z=X+Y 的概率密度。

5．设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形}31,31|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概率密度p(u)。

6．设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度f(s)。

7．已知随机变量X 1，X 2的概率分布⎪⎪⎭⎫⎝⎛-412141101~1X ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛212110~2X ，而且1)0(21==X X P ，(1) 求X 1和X 2 的联合分布；(2 ) 问X 1和X 2 是否独立？为什么？8．设随机变量X 与Y 相互独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(x)，求 Z=X +Y 的概率密度g(u)。

参 考 答 案一、选择题1．C 2．B 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．D 10．A 11．A 二、填空题1．57 2．1/4 34．1/6，1/6，1/6 5．3/4 6．1/2 7．5/3或7/3 8．三、简答题1．解：（1）由二维离散型随机变量联合分布律的性质可得，a+b+c=0.4， 由已知条件，EX=-(a+0.2)+(c+0.1)=-0.2，可得-a+c=-0.1，5.05.01.0)0()0,0()0|0(=++++=≤≤≤=≤≤b a b a X P X Y P X Y P ，从而解得a=0.2，b=0.1，c=0.1；(2) Z 的所有可能取值为-2, -1, 0, 1, 2，其分布律为(3) P(X=Z)=P(Y=0)=0.2。

2．解：（1）n m p p C n X m Y P mn m m n ,...,1,0,)1()|(=-===-； （2） )|()(),(n X m Y P n X P m Y n X P ======,.....1,0;,...,1,0,)1(!==-⋅=--n n m p p C e n m n mm n nλλ；（3）∑∑∞=--∞=-⋅=====mn m n m mnnmn p p Ce n m Y n X P m Y P )1(!),()(λλ,...1,0,!)(==-m e m p p m λλ。

3．解：（1）由已知条件，得到 1214131)()|()(=⨯==A P A B P AB P ；612/112/1)|()()(===B A P AB P B P ；从而有121)()1,1(====AB P Y X P ；6112141)()0,1(=-====B A P Y X P ； 12112161)()1,0(=-====B A P Y X P ； 3212161411)()0,0(=+--====B A P Y X P ；（2）Z 的分布律为4．解：（1）2417)2(1)2(1)2(12/0=---=≤-=>⎰⎰x dy y x dx Y X P Y X P ； （2）先计算 ⎩⎨⎧<-<<<-=-,,0;10,10,2),(他其x z x z x z x f故当0<z<1时，有)2()2(),()(0z z dx z dx x z x f z f zZ -=-=-=⎰⎰∞∞-；当1<z<2时，有211)2()2(),()(z dx z dx x z x f z f z Z -=-=-=⎰⎰-∞∞-；其他情形，均有0)(=z f Z 。

5．解：由有条件知X 和Y 的联合密度为 ⎩⎨⎧≤≤≤≤=,,0,31,31,4/1),(others y x y x f以)()(u U P u F ≤=表示随机变量U 的分布函数。

显然，当0≤u 时，F(u)=0；当2≥u 时F(u)=1。

设0<u<2，则])2(4[41),()(2||u dxdy y x f u F uy x --==⎰⎰≤-。

于是，随机变量的密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,20),2(21)(others u u u p6．解：二维随机变量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=,,0,10,20,2/1),(others y x y x f以)()(s S P s F ≤=表示随机变量S 的分布函数。