4.2 梁的内力——剪力和弯矩
例 计算横截面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
FAy 2F FBy 3F
解：
F
y
0, FSE FAy 0
FSE FAy 2F
l M E M e FAy 0 2
l M 0 , M F E Ay M e 0 C 2
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.2.1 截面法求梁的内力
FS－剪力 M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
4.2 梁的内力——剪力和弯矩 符合的规定：
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶部受 压的弯矩为正
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.1 梁的受力与变形特点 1. 受力特征 外力的作用线垂直于杆轴线（即横向力）或外力 偶位于轴线平面内。 2. 变形特征 变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。这种变 形形式称为弯曲。 凡是以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.2 平面弯矩的概念 工程中常见梁的横截面 往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全 梁的纵向对称面，当梁上所 有外力（包括荷载和反力）
均作用在此纵向对称面内时，
梁轴线变形后的曲线也在此 纵向对称面内，这种弯曲称
为平面弯曲。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.3 梁的简化——计算简图的选取
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁，梁的长度称为跨度。。
1.弯曲变形和平面弯曲 A B
q
A B
4.1 工程实际中的受弯杆
（2）载荷类型：集中力、力偶、分布载荷 （3） 支座的类型
剪力与弯矩计算
FS－剪力 M－弯矩
Fy 0 , FAy F1 FS 0
故 FS FAy F1 故 M FAybF1 ( ba )
n i 1
M C 0,
M F1 ( b a ) FAyb 0
FS ( Fi )一侧
i 1 n
M ( mCi )一侧
4.3 剪力图与弯矩图
例 4.3 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
FAy bF l FBy aF l
解：1. 支反力计算 2. 建立剪力与弯矩方程
AC 段 bF FS1 FAy , (0 x1 a ) l bF M 1 FAy x1 x1 , (0 x1 a ) l CB 段 aF FS2 FBy , (0 x2 b ) l aF M 2 FBy x2 x2 , (0 x2 b ) l
在保留梁段上，方向与切开截面正 FS 相反 的外力为正，与正 M 相反的外力偶矩为正
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
计算方法与步骤
假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正
由 SFy = 0 计算 FS 由 SMC = 0 计算 M，C 为截面形心
FSA FAy 2F
M A M e FAy Δ Fl
FSD F
M D F 00
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.2.2 直接由外力求截面内力的法则
1.剪力
FS
i i 1左（右）
F
n
即：某截面的剪力等于该截面以左（或右）所有横向外力 的代数和。 如取左侧段梁，则向上的 力为正，向下的力为负； 左上右下为正
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵
坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为 剪力图和弯矩图
4.3 剪力图与弯矩图 三、作图步骤
1 求支反力： 2 找控制面将梁分段 1、集中力作用点两侧截面
2、集中力偶作用点两侧截面
3、均布荷载起始和终点处截面
建立坐标系.剪力图纵坐标以向上为正；弯矩图纵坐标在 3 机电类中常以向上为正，在土建类中常以向下为正。 4 由前述“直接由外力求截面内力的法则”计算剪力、弯矩
第4章 梁的内力——剪力和弯矩
4.1 工程实际中的受弯杆 4.2 梁的内力——剪力和弯矩 4.3 剪力图与弯矩图 4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系 4.5 按叠加原理作剪力图和弯矩图
4.1 工程实际中的受弯杆 一、实例
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1 工程实际中的受弯杆
为正，逆时针的外力偶为负
如取右侧梁段：则逆时针转向的外力偶 为正，顺时针的外力偶为负
左顺右逆为正
4.3 剪力图与弯矩图 一、剪力方程和弯矩方程
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩
的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.
1.剪力方程 FS= FS(x) M= M(x)
2.弯矩方程
二、剪力图和弯矩图
可动铰支座，垂直于支承平面的支反力 FR
固定铰支座，支反力 FRx 与 FRy 固定端，支反力 FRx , FRy与矩为 M 的支反力偶
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.4 梁的基本形式 常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁 悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁 外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁 静不定梁 约束反力数超过有效平衡方程数的梁
4.3 剪力图与弯矩图
（2）列出剪力方程和弯矩方程： 以左端A为原点，并将x表示在图上。
ql qx 0 x l 2 x ql qx 2 M x YAx qa x 0 x l 2 2 2 Q ( x) F YA qx S
（3）作剪力图和弯矩图
如取右侧段梁，则向上的
力为负，向下的力为正。
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
2.弯矩
n m
M
Fi ai M k i 1 左（右） k 1 左（右）
即某截面的弯矩等于该截面以左（或右）外力对所求截面处 形心的力矩之和。 不论取左侧或右侧梁，所有向上的外力 的力矩为正，而向下的外力的力矩为. 如取左侧梁段：则顺时针转向的外力偶
5 由剪力FS（x）和弯矩M（x）的表达式按比例作图。
4.3 剪力图与弯矩图
例4.2 作图4-9（a）所示简支梁受均布荷载的剪力图和弯矩图。
q=56.9kN/m A B
( )
YA
YB
解 （1）求支座反力
( )
ql 2
YB 2
( )
ql 2 =177.5kN