对上式求导得：
d2d M (2 xx)ddQ (x x)q(x)
•归纳
① dQ(x)q(x) dx Q图曲线的切线斜率为q(x)
② dM(x)Q(x) dx M图曲线的切线斜率为Q(x)
③ d2dMx(2x)q(x)
M图曲线的凹凸向与q(x)符号有关
1. q=0 的区间,Q 水平直线,
q
P
M为斜直线;
工程中：杆件少，内部空间大，制作方便。建筑工程中，用来 承重骨架，通过它将载荷传到地基。
刚架内力图 分析步骤：
1) 由整体及某些部分的平衡条件 求出支座的反力及铰结处的约束力。对于每一杆件的无载 荷区段和承受均布载荷区段分别计算。 无载荷区段：定出弯矩控制竖标连直线。 有载荷区段：利用叠加方法。
内力图画法：
• 求控制截面的内力值（截面法） • 确定内力图形状（微分关系）
例: 求下列各梁的剪力弯矩图。
A
RA
Q
M
q
B
C
2a
a
RB
qa
解：(1)支反力
qa2
qa
RA
22a
4
RB
qaRA
5qa 4
(2)作剪力图、弯矩图
qa 4 qa2 2
QA QB q4a,QB 5q 4a MB RA2a1 2qa2 MB qa 1 2a1 2q2 a
Q qa M qa2 2
max
max
A
a
RA Q
P
D
B
C
P
2a
a
RB
P2 P2
P 2
M
Pa 2
解：（1）支反力
RARBP2
(2)作剪力图、弯矩图 Q A Q C P2 ,Q C P2
M CP2 a,M 中 0
Pa 2
Q P 2 M Pa2
m ax
max
P=qa q
A
2a
D B
a
RA
RB
Q qa / 2
0.28
C
RB
a
1
5/4
0.5
4.
m qa2
A
C
MA0
RA
a
R B 3 a q2 a q 3 a 2 .5 a 0 11 6 a
5/6 qa
RB
13 qa 6
Q
5/6 qa2
RA
5 6
qa
M
1/6
q 2a
13/72
B
RB
a
1
7/6
3/6
5. 检查下列剪力弯矩图是否正确
m qa2
q
100.40.2RA0.60
0.13m
RA1.33kN Q
1.33
Y 0
0.36
0.27
M
2.67
RB2.67kN
2.
A
RARB50 N R A
0.2m
Q
M
10 Nm
B C
RB
0.1m
50 N
10 Nm
3.
q
A
MB 0
RA
1 q2aaqa2aR A2a0
RA
3 4
qa
Q
RB
9 4
qa
M
2a
0.75 a 3/4
a
a
qa
qa 2 2
A
3 qa 2
3 qa 2
m qa2
B
C
qa
2a 2
qa
2
a
qa 2
qa 2
q P=qa
q
A
BA
a
a
a
qa 11 qa 2 8
qa qa 2
a
4a
a
2qa
2qa
qa
qa
qa 2
2 qa 2 3
§4-6 平面刚架和曲杆的内力图
刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采 用刚性连接的结构。
（2）q =常数时，Q 为 x 的一次函数，是一条斜直线。M 为 点连抛物线）。
（3）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾
斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极 值点位于剪力Q 为零的截面。
（4）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（突变 值等于集中力或集中力偶矩的值）
上次课主要内容回顾
1.梁的内力：弯矩和剪力
P1 m
A
m
a
l
RA
Q
P2 B
RB
RA
Q
M
M P1 P2
RB
2.内力符号规定：
•剪力符号:
•弯矩符号:
+Q -Q
+M -M
3.梁内力的简便求法：
剪力——截面一侧所有竖向分力的代数和。
（左上右下为正）
弯矩——截面一侧所有外力对截面形心力矩的代 数和。 （左顺右逆为正）
Q>0,M的斜率为正，
Q Q
Q<0,M的斜率为负。
M
M
2.q为常数 (向下)的区间, Q 为斜向下的直线, M为向上凸的曲线。
Q=0 的位置对应于 M图
q
m
上的极值点位置 。
Q
Q
M
M
3.集中力 P 作用点剪力图 有突变, 突变值等于 P , 弯矩图有拐点。
4.集中力偶 M 作用点,弯矩 图有突变, 突变值等于M。
q1kN/m P1 2kN MD10kNm
B
A
C
D
RA
RB
4m
4m
4m
3m
P2 2kN
E
RA 7kN RB 5kN
习题
4-7(a,b), (4-8)， 4-13(a,b), 4-16(b)
课堂练习
画剪力弯矩图
1.
q =10 kN/m
MB 0
A
C
B
RA
q0.40.2RA0.60
0.2m
RB
0.4m
(2)作剪力图、弯矩图
QA q,aQCQB 3q2a
qa 2 M qa2 2
qa
a q2a M极RAaqa2 2
M C R A 2aq2aa0
Q qa max
M qa2 max
MC RA2aq2aaqa2 qa2
dQ q, dx
dM Q , dx
d d 2M 2xq
（1） q = 0 ，Q =常数，为一水平线。M 为 x 的一次函数，是 一条斜直线。（计算特殊点按x 顺序连直线）
q0a l Qc
Mc
RA
QcRA12q0laa M cR Aa1 2qo laaa 3
§4-5 荷载集度、剪力、弯矩间的微分关系
确定M(x)、Q(x)、q(x)的联系，正确、方便画出内力图。
1. 微分关系
y
q(x)
A
•取典型微段
q(x)
Bx
M(x)
c M(x)+dM(x)
x
dx
l
Q(x)
Q(x)+dQ(x)
qa
C
M
qa2 8
3qa2
qa 2
解：（1）支反力
RAqa2 RB5qa2
(2)作剪力图、弯矩图
QA
RA
qa 2
QB RAq2a2 3qa
QB qa
QC0:xa2 M C
qa 2 8
MBPa q2 a
Q 3qa2 max
M qa2 max
q
qa 2
解:（1）支反力
A
2a
RA
Q qa
B
C
a
RB
RARBqa
dx
q(x) 在 dx 上 看 成 是 均 布 ， 所有力按正向画出。
q(x)
M(x)
c M(x)+dM(x)
Q(x)
Q(x)+dQ(x)
dx
M c0:
高阶微量
[ M ( x ) d ( x M ) M ]( x ) Q ( x ) d q ( x x ) d d x x 0 2
dM (x)Q(x) dx
立柱
横梁
当杆件变形时，两杆连接处保持刚 性，即角度（一般为直角）保持不 变。
在平面载荷作用下，组成刚架的杆 件横截面上一般存在轴力、剪力和 弯矩三个内力分量。
特点：在刚结点处， 1) 各杆段不能发生相对移动，和相对
转动。保持角度不变。 2) 因为刚结点约束杆端相对转动，所
以能承受和传递弯矩。(与铰相反) 3)有消减结构中弯矩的峰值的作用。