圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．3．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆的半径是（）A．B．2C．D．45．已知圆与圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．B．C．D．6．若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（）A．B．C．D．7．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）A．2B．C．6D．8．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：的圆心则的最小值为A．B．5C．D．109．若均为任意实数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题10．如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．11．已知x,y满足－4－4＋＝0, 则的最大值为____12．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．13．设直线与圆相交于两点，若，则圆的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线上，且与直线相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为______．16．已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，则圆的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是__________．18．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，的最大值是_______.三、解答题 19．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 20．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.（1）求圆的圆心坐标和面积； （2）若直线的斜率为，求弦的长；（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程．21．已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程； （2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.22．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线12y x =上。
(1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线34230x y -+=的最小距离。
23．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．（1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．24．已知点，求（1）过点A,B 且周长最小的圆的方程； （2）过点A,B 且圆心在直线上的圆的方程．25．已知的顶点，直角顶点为，顶点在y 轴上；（1）求顶点的坐标； （2）求外接圆的方程．26．如图,设P 是圆2225x y +=上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影，M 为线段PD 上一点,且45MD PD =， (1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被轨迹C 所截线段的长度.27．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线.（Ⅰ）求曲线的普通方程； （Ⅱ）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程.参考答案1．C【解析】【分析】因为与y轴相切，所以可知圆的半径，根据圆心坐标，可得圆的标准方程。
【详解】圆心为(2，－3)并且与y轴相切所以半径所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4所以选C【点睛】本题考查了根据圆心坐标和半径写出圆的方程，属于基础题。
2．C【解析】【分析】设动点，的中点为，由中点坐标公式解出，，将点代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程．【详解】设动点，的中点为，可得，得，.∵点在圆上运动∴，化简得.∴所求动点的轨迹方程是.故选C.【点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立，之间的关系；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（4）代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．3．B【解析】【分析】由圆的方程求出圆心坐标，代入直线方程求出m的值，求出圆的方程后并配方求圆的半径，代入圆的面积求解即可．【详解】∵圆的方程是：x2+y2﹣（4m+2）x﹣2my+4m2+4m+1=0，∴圆心坐标是（2m+1，m），∵圆心在直线x+y﹣4=0上，∴2m+1+m﹣4=0，解得m=1，则圆的方程是：x2+y2﹣6x﹣2y+9=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，∴半径r=1，圆的面积S=πr2=π，故选：B．【点睛】本题考查由圆的一般式方程求圆心和半径的方法：公式法和配方法，属于基础题．4．A【解析】分析：一般方程转化为标准方程，即可得到半径值。
详解：把一般方程转化为圆的标准方程由标准方程，可知半径为所以选A点睛：本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，根据标准方程求圆心或半径，属于基础题。
5．A【解析】【分析】两个圆相减，可得交点弦所在的直线方程；再由弦的垂直平分线过圆心及斜率关系，求得AB的垂直平分线方程。
【详解】圆与圆相交于A、B两点所以AB所在的直线方程为两个方程相减，得3x-3y+4=0AB垂直平分线的斜率为x+y+b=0圆的圆心为（1,2）将（1,2）代入x+y+b=0解得b=-3所以AB的垂直平分线的方程为所以选A【点睛】本题考查了圆方程的简单应用，注意相关性质的用法，属于基础题。
6．B【解析】∵∠APB=90°，∴由不等式可得∴故选：B7．C【解析】试题分析：直线l过圆心，所以，所以切线长，选C.考点：切线长视频8．B【解析】由圆的方程知圆心为，所以，的几何意义为直线上的动点与定点的距离的平方，故过点向直线作垂线段，其长的平方最小，最小值为，故选B.9．D【解析】【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，故选D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题. 10．.【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P，，所以PQ的中点，由题得所以=设，所以，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数的值域. （2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力. 11．【解析】【分析】现化简曲线的方程，判定曲线的形状，在根据的意义，结合图形即可求解．【详解】由题意，曲线，即为，所以曲线表示一个圆心在，半径为的圆，又由表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为，所以原点到圆上的点的最大距离为，所以的最大值为．【点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把转化为原点到圆上的点之间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．12．【解析】【分析】先求得圆的圆心与半径，可知直线一定过圆心得。
又，，由均值不等式可求得最值。
【详解】由题意可得的圆心为（-1，2），半径为2,而截得弦长为4，所以直线过圆心得，又，所以当且仅当时等号成立。
【点睛】本题综合考查直线与圆，均值不等式求最值问题，本题的关键是由弦长为4，判断出直线过圆心。
13．【解析】分析：根据弦长，求半径。
应求圆的圆心、半径，弦心距。
故将圆的方程变为标准方程得。
可得圆心为，半径为。
然后求圆心到直线的距离为。
由为弦长，可得即。
进而可得半径。
可求圆的面积为。
详解：圆的方程变为标准方程得。
所以圆心为，半径为。
直线化为圆心到直线的距离为。
因为，所以即所以半径。
所以圆的面积为。
点睛：解决与直线和圆相交弦长有关的问题，注意以弦长一半、弦心距、半径为三边长的直角三角形的三边长关系。
本题考查学生的转化能力、运算能力。
14．【解析】【分析】圆的面积最小等价于圆的半径最小，根据点到直线距离公式，利用基本不等式可得结果.【详解】圆的面积最小等价于圆的半径最小因为圆的圆心在曲线上，所以可设圆心为，与直线相切，所以圆的半径等于圆心到直线的距离为，圆的标准方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程和性质、属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.15．【解析】圆心在上，可设圆心坐标为，又圆过，圆和直线相切，，解得圆半径，圆心坐标圆方程为，故答案为.16．【解析】分析：设圆的方程为，再把，两点的坐标代入圆的方程求出a和r即得圆的标准方程.详解：设圆的方程为，把，两点的坐标代入圆的方程得且.解之得所以圆的标准方程为.故答案为：.点睛：（1）本题主要考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 求圆的方程的方法：待定系数法，先定式，后定量.如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式.17．【解析】分析：可以设圆的方程为，由三点在圆上，三点坐标代入所设方程，解方程组可得的值，从而可得三角形的外接圆方程.详解：设三角形的外接球方程是，由点,，在圆上可得，，解得，故三角形的外接球方程为，故答案为.点睛：本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.18．2【解析】【分析】利用转速是两倍关系得转角为两倍，设出后，推出，然后根据三角函数坐标定义可得两点的坐标，再用数量积公式计算，最后用正弦函数最值可得．【详解】设，根据题意得，，且，依题意得，∴，当且仅当时，等号成立．故答案为：2【点睛】本题考查了三角函数定义，向量数量积等概念，本题根据题意求出依题意得，是解决本题的关键.19．(1) y=x–1,(2)或．【解析】【详解】分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．20．(1)见解析;(2);(3)，或．【解析】【分析】（1）化圆的一般式为标准方程：得出圆的圆心坐标为，半径即可。