y
y f (x)
x0 x0 x
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推论 2 . 若在
的某去心邻域内 f ( x) 0 , 且
( f ( x) 0)
则 A 0.
( A 0)
(反证法, 证明略)
思考: 若定理 2 中的条件改为 f ( x) 0, 是否必有 A 0 ? 不能! 如
x 4
x 4
x 0
lim f ( x) lim e x 1
x 0
x 0
lim f ( x) lim 2 x 1 1.
x 0
因为 lim f ( x) lim f ( x) 1,
x 0 x 0
所以 lim f ( x) 1.
x 0
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x x0
当
时的极限, 记作
lim f ( x) A 或
当
即
时, 有
几何解释:A A AO源自yy f (x)
(
x0
)
x
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例1. 证明 证: f ( x) A 故 0 , 取 , 当
(注意x =1无定义)
时, 必有
x 1 2 x 1
n
lim q n1 0
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a1 a2 an 例4. 若 lim an A, 则 lim A. n n n
证明：由于 lim an A, 故 0, 正整数 N1 , n
当 n N1 时，an A
3、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0 , X 0 ,
A 为函数
x
lim f ( x) A
x X 或x X
A f ( x) A
几何解释:
y
A
X
的水平渐近线 .
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只有有限项(至多N项)在邻域 U ( a , ) 之外。
ε 英文注音 epsilon 中文注音 伊普西龙
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证明:
n (1) n 1 xn 1 n
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 n
1 x
都有水平渐近线 y 1.
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三、 函数极限的性质
(性质适用于函数的所有极限过程) 1. 唯一性 若函数极限存在，则函数极限唯一。
类似于数列极限的唯一性（反证法）
2. 局部有界性
x x0
U ( x0 , )

lim f ( x) : 函数f ( x) 在x0 的某去心邻域内有界;
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
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e x , x 0, 例4. 设 f ( x) 求 lim4 f ( x), lim0 f ( x). x x 2 x 1, x 0
解:
lim f ( x) lim 2 x 1 3.
2
因此
x2 1 lim 2 x 1 x 1
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例2. 证明: 当
证:
时
0 , 欲使
而
1 x x0 x0 只要
可用 保证 . 故取
且
min x0 , x0 , 则当 0 x x0 时, 必有
x x0
O
因此
x x0
lim xn a.
n
或
xn a, (n )
极限存在的数列称为收敛数列。
极限不存在的数列称为发散数列。
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1 2 3 n , 例如, , , , , 2 3 4 n 1 n xn 1 ( n ) n 1
收 敛
n (1) n1 xn 1 ( n ) n 2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
正十二边形的面积 A2
R
n 1 正 6 2 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正 3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416 割圆术就是极限思想在几何上的应用
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微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法 作为研究工具的数学学科： 应用极限方法研究各类变化率问题 和几何学中 曲线的切线问题，就产生了微分学； 应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到 微小量无穷积累的问题， 就产生了积分学。

M M a1 A a2 A aN1 A , 易知 lim 0. n n M 于是 正整数 N 2 , 当 n N 2时， .
n 2 取 N max{ N1 , N 2 }, 则当 n N 时，有
2
,记
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a1 a2 an A n
x x0
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
定理 1.
x x0
lim f ( x) A
x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0
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例3. 给定函数 x 1, f ( x) 0 , x 1 ,
lim f ( x) : 函数f ( x) 当x 充分大时有界。 x
xX
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3. 局部保号性 定理2 . 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x) 0. ( f ( x) 0)
证: 已知
时, 有 当 A > 0 时, 取正数 (< 0) ( A) 则在对应的邻域 即 0 , 当
第二节
极限的概念与性质
一、数列的极限 二 、函数的极限 三 、函数的极限的性质
第一章
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引言
自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算
是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋
势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生 的客观基础。
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割圆术 正六边形的面积 A1
lim
x
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x0
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x
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2. 左极限与右极限 (单侧极限)
左极限 : f ( x0 ) lim f ( x) f ( x0 0) A
x x0
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有
右极限 : f ( x0 ) lim f ( x) f ( x0 0) A

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例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
ln . 亦即 n 1 ln q 1 ln , 则当 n > N 时, 就有 因此 , 取 N ln q
q n1 0
故
.
. . . .
.
.
.
O
n
xn 趋向于某个确定的数
(1) : 1, 1, 1, 1,, (1) ,
n
x
xn 不趋向于某个确定的数
. .
.
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设数列{xn }, 如果通项 xn 当项数 n 无限增大时， 定义： 无限趋近于某个常数 a, 则称 a 为数列 {xn } 的极限。 记作
a1 a2 an A. 所以 lim n n
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第一章
二、函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
主要内容 : 1、自变量趋于有限值时函数的极限 2、左极限、右极限
3、自变量趋于无穷大时函数的极限
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1、自变量趋于有限值时函数的极限 在点 的某去心邻域内有定义 , 定义1 . 设函数 若 0 , 0 , 当 0 x x0 时, 有 f ( x) A 则称常数 A 为函数
n n
(1) : 1, 1, 1, 1,, (1) ,
3n: 3, 6, 9, , 3n,
xn f (n), n 1,2,.
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数列 {xn }可视为定义在自然数集上的函数：
y
1 1 1 1 1 n : , , ,, n , 2 2 2 4 8
xn (1) n1 趋势不定
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散
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数学定义： 若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
n
的极限为 a , 记作
lim xn a 或 xn a (n )
几何解释 :
a x N 1
(
x N 2 a
)
a xn a (n N ) 即 xn U ( a , ) (n N )
上
A A A
y
y f (x)
( 0)
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