全国大学生数学竞赛（非数学专业）微分学一、基本概念与内容提要1.出参数方程确定的函数的导数则冬二 dy df 二 d )，/dx 二 ©'(/)二儿‘ dx dt dx dt dt 0(f) x t 'd 严⑴ d/ 二以⑴0(/)-0(/)0® 1dt(p\ty dx~ [©(ordt2.多元函数微分学全微分：衣二空血臬密•腸式不变^=—dx + — Jy + —dx oydx dy dz处的切线对和轴的斜率。

函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。

连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。

二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。

二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。

偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。

函数连续是可微的必要不充分条件。

全微分的近似计算：Az"卩人(兀，刃山+/；(x ，y)Ay 多元复合函数的求导法:z = /D/(O,v(O]— = —dt du dt dv dt偏导数的儿何意义：粼規示册緝奇成，，z = /(s) y = >o(x o Jo Zo)z = /[u(x,y),u(x,y)] 当M 出&(x, y) v = v(x, y) dz dz du dz dv—= ----- ---- 1 -- ---dx du dx dv dxf du . du fdu =—dx-\ --- dy dx dydv = ^dx^dydx dy隐函数的求导公式：隐函数F(X,)')F O 尘=_・dx F y台7 F隐函数F(x,)^) = 0 — = -一dx Ed~y _ *( F C( F d y 乔一去(一亍石F忑) J 比_ Pydu _ 1 3(F,G) dv _ 1 a (F,G) du _ 1 Q(F,G) Ox J 6(x,v) ' 8x‘ J 8(u.x) ' dy J 6(>\v)二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数y = y(x)由方程xe f(y) =e y\n29确定，其中于具有二阶导数,冃广工1,则器,CF72.已知函数z = w(x,y)e ax+,y9且— =0,确定a,b ,使得函数z =z(x,y)满足 dxdy82z dz 8z n -------------------- z = 0 • Cd c c oxoy ox dy求訝罷4. 己知＜2山(1 +戶)，求y = t — arctan e 1V 丿5. 设函数i 心，刃的所有二阶偏导数都连续，空=驾且/心,2切“,dx~ dy~W](x, 2x) = x 29 求 wfj (x, 2x).解:u(x,2x) = x 两边对兀求导,得到：山(兀,2兀)+ 2弘；(兀,2兀)=1,代入”|'(兀,2兀)=/求[-x 2得：弘；(兀,2兀)= - ；u[(x,2x) = x 2两边对 x 求导,得到:wfj (兀,2兀)+ 2U [2(X 92X ) = 2x ；\ — x~ u ； (x,2x)= 两边对 x 求导，得到 «2i (兀,2x) + 2M 22 (x,2x) = -x.以上两式与 驾=驾联立，乂二阶导数连续，所以u ；2=u ：\，故U^,2x) = --x 8x 2 dy2 12J " 3用全微分求解隐函数隐函数方程组ygzT[G(x,y,u,v) = OJ 』F,G)d(u.v)ar一加竺avaG-avFv GrD 巩化G) dy J Q(u,y)3.设函数/⑴有二阶连续的导数,5.设z = z(x,y)是方程F(z +上,z -一) = 0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导 兀 y数，以及 F u (w,v) = F v (W ,v)^(),求证兀3密+小(兀+刃籍+)异笑=0 ox dxdy dy导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6.设函数/(%)在［0,+oo)上连续，在(0,+oo)上可导,一川科)满足帶+弊』2詁严必(1) .求函数广(x)(x>0)的表达式;⑵•若ME 求出册522 q其中0(t)具有一阶导数，曲线y = 0(f)与y=f e~uclii + —在匸1处相2e8.设一元函数W = /(r)当0。

＜亦时有连续的二阶导数，且/(1) = 0,广(1) = 1, 乂 11 = /(Jx2+/ + Z 2)满足方程匕+乜+巳=0 ,试求f(r)的表达式。

dr 茁 dz~X解：・・・弘=/(心,)沁))，/ =广•一 (/'：/"))r_f 丿"X_f x 2f n x 2f WXV = — + 兀( ------- )•_ = 一 + —； - —r r r~ r r r~ r对称地，M =£+2X_2X,M 丄帆工yy23zz2 3r r r r r r・•• 5 + Uyy + 叫=/" + 2占=0p z21r 令 P=f —=——,lnP = ln —+ lnC = ln —P r r 1 r 2/乞+尸竺=0和dx dy已知lim/\x) = 0且函数XT 0+7.设函数y=f(x)由参数方程x = 2t 1 歹=0(『)k>j)确定'冃器=忌C I | 1p =广(厂)=-=—(•・・广(1) = 1)・•・ M) =—+c = __(・・・/(l)=0)厂厂r r注奧+嘤+字=0,称为(三维)拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方dx2 dy2 dz程，是一种偏微分方程•因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名•在一•般条件下解拉普拉斯方程超出考试范围.本题讨论特殊条件下的拉普拉斯方程求解问题.9.设W = 且满足(二维)拉普拉斯方程，求的君达我)分析：函数u = f(x,y)是亍+ y2的函数，可以考虑用极坐标进行转化，利用求微分方程的方法得到表达式。

mi /•/、r( \ Ou dr % / x铁討(「) + *〃)同理可得斜訂(小訂(J •■•■|4 + ^4 = / (r) + -/ (r) =0,yj^ = --积分得dx 8)厂r f'[r) rIn/ (r) = -lnr + lnc(),/ (r) = -^,/(r) = c o lnr+ c,u = —c i} ln(x2 + y') + C| =c」n(V + )『) + q 2LI — X10 .已知函数z=z (x, y)满足兀2冬+歹2竺=尹，设I =丄_丄，对函数去彷I V X0 = 0(眈,卩)，求I止：= Q.du证明：由题意得"/尸片,则(f)= --丄是u,v的复合函数，则空__丄du z2厂比dx^dx du+竺空+dy du ) 111 *z2----- Fdx、1 dz(14-WV)2叱Z 兀一、基本概念与内容提要1. 定积分性质① 若/（兀）是奇函数（即/（%）=-/（-%））,上，j f （x ）dx = 0.② 若/（兀）是偶函数（即/（x ）= /（-兀）），那么对于任意的常数a,在闭区间［-。

卫］ 上 J f{x ）dx = 2 J f{x ）dx .③ 若/（兀）为奇函数时，/（兀）在［-°卫］的全体原函数均为偶函数；当/（兀）为偶函 数时，/（兀）只有唯一原函数为奇函数即［加助・④若『6）是以T 为周期的函数（即f （T +兀）=/&））,且在闭区间［0,T ］±连续可T积，那么]= (/(x)dx= E f{x)dx■ 22. 二重积分的六大对称性如果积分区域D 具有轴或点对称（令D 表示D 的一半区域，即D 中对应y > 0 丄 丿2部分，余类推），被积函数/（X, y ）同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以 得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学屮每年都必出题，务必理解记住下列 6类对称性定理。

①D 关于X 轴对称（D 关于丫轴对称类推）0, /(兀-)：)= -/(兀 y)..y =1.卯=1 X 14- uv du u 2 Z 2 厂2比 2比、 JT ---- 厂一 I 去 dyjJ ______ 1_ u 2 X 1 Z 2------ F^dx u 2积x 2 dy)4=o X 分学 那么对于任意的常数a,在闭区间^f(x,y)dxdy = <2j]7(s)d几卄是关于的偶函数，即②D 关于X, Y 都对称③ D 关于原点对称④ 当Q 和Q 关于某一直线对称，对同一•被积函数，则⑤ D 关于X =a 轴对称⑥ 万能轮换对称性•轮换对称性描述如果将兀与y 及z 交换，即xoy , zox 后，积分区域方程不变，则将被积函数小的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这 个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都 成立。

•轮换对称性实例3. 二重积分的换元公式.设/(x,在£>上连续，x = x(w,v), y = y(w, v)在平面uOv 上的某区域£/上具 有连续的一阶A = jj @|x| +方卜|肚狞=^^ □（忖+卜|宓dy = (2)|卅|"| 忖+1*1X ~ Vdxdy =- 2 4x 凹 |j （兀+）少/砂= 4（d + b ） jjxdxdy 2 X+V<1 x>Q. v>0 X+ V<1 A >0. y>0IM+|g Jx + y + 3 2 鼎q _ Jx + y + 3 Jy + x + 3dxdy = 0偏导数且雅可比(Jacobi, C.G.J.)行列式J = X\ X\工0,儿儿对应于xOy平面上的区域£),则y)dxdy = jj/[x(w,v), y(u,v)^j\dudv・D D*4.三重积分的对称性：J =如⑴若G关于兀oy而(z = 0)对称，①若/(x,y ,-z) = -/(x, y, z),贝I」/ =0,②若f(x,y-z) = f(x,y,z),则/ = 2^f(x,y,z)dv, Q I： z >0⑵若。

关于yoz而(x = 0)对称，①若 /(一兀,y, z) = -/(x, y, z),则 / = 0,②若/(-x,y,z) = /(x,y,z),则1 = 2y,z)dv, fl2: x>0Q2⑶若Q关于兀血面(y = 0)对称，①若f(x-y. z) = -f(x, y, z),则 / =0,②若f(x-y,z) = f(x,y9z),则1 = 2Jjj/(兀,y,z)dv, Q3: y>05.三重积分换元法1) 球坐标系代换：x = /?sin^cos0,y = Qsin0sin&,z = pcoscp ,\ J \= p2 sin^(0< p < +oc, 0<^<^50<^< ,即dU = r2sin(pclrd 3d (py, z)dxdydz = Jjj/(psin 0cosO,Qsin 0sin 0,pcos(p)p2 sin(pdOd(pdpD£T适川于积分公式或被积函数是/(x2 + / + r)型.2)柱坐标代换:x = rcos 0,y = rsin0,z = z , (r > 0,0 < ^ < 2^, -oo < ^ < +oo)\j\ = r=巩兀，即 dV = rdrdOdz三重积分的柱朋标换冗公式为：y, z ）dxdydz = JJJ/（r cos 0, r sin 0. z.）rdOdrdz ,DD‘适用于f(x 2+ /)型被积函数或积分区域6・高斯公式定理 设空间闭区域。