第三章 导数及其应用第15讲 导数的几何意义和四则运算A 应知应会一、 选择题1. 已知f (x )＝x (2 018＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 019,则x 0等于( )A. e 2B. 1C. ln 2D. e2. 若函数f (x )＝33x 3＋ln x －x ,则曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线的倾斜角是( ) A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π63. 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)·cos x －ax 在(0,f (0))处的切线倾斜角为45°,则a 等于( )A. －2B. －1C. 0D. 34. (2019·泰安一模)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 2 ＝x 3－3x ,则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率为( )A. 0B. 9C. 18D. 275. 已知曲线y ＝sin x 在点P (x 0,sin x 0)(0≤x 0≤π)处的切线为l ,则下列各点中不可能在直线l 上的是( )A. (－1,－1)B. (－2,0)C. (1,－2)D. (4,1)二、 解答题6. 求下列函数的导数．(1) y ＝5x 3 ； (2) y ＝1x4 ； (3) y ＝－2sin x 2 ⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .7. 已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0,且点P 0在第三象限．(1) 求P 0的坐标；(2) 若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．2. 已知函数f (x )满足满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2,则f (x )的解析式为________________.3. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y ＝ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(－e,－1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是________．4. (2019·厦门一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知x 21 －ln x 1－y 1＝0,x 2－y 2－2＝0,则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为________．二、 解答题5. 已知曲线y ＝(ax －1)e x 在点A (x 0,y 1)处的切线为l 1,曲线y ＝1－x e x 在点B (x 0,y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，32 ,使得l 1⊥l 2,求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11,g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9,且f ′(－1)＝0.(1) 求a 的值；(2) 是否存在k ,使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线,又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在,求出k 的值；如果不存在,请说明理由．第16讲 导数与函数的单调性A 应知应会一、 选择题1. (2019·福建四校二联)函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )A BC D2. 若函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,则下列判断中正确的是 ( )(第2题)A. 在区间(－3,1)内f (x )是增函数B. 在区间(1,3)内f (x )是增函数C. 在区间(5,6)内f (x )是增函数D. 在区间(－∞,1)内f (x )是增函数3. (2019·宣城二调)若函数f (x )＝43x 3－2ax 2－(a －2)x ＋5恰好有三个单调区间,则实数a 的取值范围为( )A. [－1,2]B. [－2,1]C. (－∞,－1)∪(2,＋∞)D. (－∞,－2)∪(1,＋∞)4. 若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ,a ＋1]上单调递增,则实数a 的最大值为( )A. －1＋52B. 1＋52C. 1－52D. －1－525. (多选)已知函数f (x )＝e x －1,对于满足0<x 1<x 2<e 的任意x 1,x 2,下列结论中正确的是( )A. (x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0B. x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)C. f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1D. f （x 1）＋f （x 2）2 ＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22二、 解答题 6. (2019·太原一模节选)已知函数f (x )＝x 3－32 ax 2(a ＞0),若函数h (x )＝f （x ）·e x x 在(0,1)上单调递减,求a 的取值范围．7. (2019·南昌一模)已知函数f (x )＝(x ＋a )e x (x ＞－3),其中a ∈R ．(1) 若曲线y ＝f (x )在点A (0,a )处的切线l 与直线y ＝|2a －2|x 平行,求直线l 的方程；(2) 讨论函数y ＝f (x )的单调性．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·泰州一模)已知函数f (x )＝2x 4＋4x 2,若f (a ＋3)＞f (a －1),则实数a 的取值范围为________．2. 已知函数f (x )的定义域为R,f (0)＝2,对任意x ∈R,都有f (x )＋f ′(x )＞1,则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为________．3. 已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ,t ＋1]上不单调,则t 的取值范围是________．4. (2019·盐城期中)已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R),若函数f (x )存在三个单调区间,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝x e x －a ⎝⎛⎭⎫x 22＋x (a ∈R),讨论函数f (x )的单调性．6. 已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R).(1) 若f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线y ＝1ex ＋1垂直,求a 的值； (2) 若f (x )在(0,＋∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围．第17讲 导数与函数的极值、最值A 应知应会一、 选择题1. 函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 32. (2019·安庆二模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e(e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( )A. 2e －1B. －1eC. 1D. 2ln 2 3. 若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ,6－a 2)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A. (－5 ,1)B. [－5 ,1)C. [－2,1)D. (－2,1)4. 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2,g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN |达到最小时t 的值是( )A. 1B. 12C. 52D. 225. (多选)设函数f (x )＝ax 22e－ln |ax |(a ＞0),若f (x )有4个零点,则a 的可能取值个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、 解答题6. 已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1) 求曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(2) 求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值．7. (2019·邵阳期末)已知a ∈R,函数f (x )＝a x＋ln x －1. (1) 当a ＝1时,求曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程；(2) 求f (x )在区间(0,e]上的最小值．B 巩固提升一、 填空题1. 若函数f (x )＝12x 2f ′(2)＋ln x ,则f (x )的极大值点为________,极大值为________． 2. 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1,若函数f (x )在(1,2)上有极值,则实数a 的取值范围为________．3. (2019·滁州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3－3x 2＋1，x ≥0，e ax ＋1，x <0 在[－2,2]上的最大值为5,则实数a 的取值范围是________．4. (2019·唐山一模)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点,则sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3 的最小值为________． 二、 解答题5. (2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1) 讨论f (x )的单调性；(2) 当0<a <3时,记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ,最小值为m ,求M －m 的取值范围．6. 解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向问题”．例如：原问题是“若矩形的边长为3和4,则其周长为14”,它的一个“逆向问题”是：“若矩形的周长为14,一边长为3,求另一边长”,也可以是“若矩形的周长为14,求其面积的最大值”等等．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1) 求f (x )在[－1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值； (2) 请对(1)提出两个“逆向问题”,并作解答．第18讲生活中的优化问题举例A应知应会一、解答题1. 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10－x)2万件．(1) 求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；(2) 当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大？并求出L的最大值．2. 如图所示是一个帐篷,它下部分的形状是一个正六棱柱,上部分的形状是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO＝3PO1.设PO1＝x.(1) 当x＝2 m,P A1＝4 m时,求搭建的帐篷的表面积；(2) 在P A1的长为定值l m的条件下,已知当且仅当x＝23m时,帐篷的容积V最大,求l的值．(第2题)B 巩固提升一、 解答题1. (2019·徐州期中)如图所示是一个半径为2 km,圆心角为π3的扇形游览区的平面示意图,点C 是半径OB 上一点,点D 是圆弧AB 上一点,且CD ∥OA .现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元,线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设∠AOD ＝x 弧度,广告位出租的总收入为y 元．(1) 求y 关于x 的函数解析式,并指出该函数的定义域；(2) 试问x 为何值时,广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．(第1题)2. (2019·盐城期中)某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品．根据以往的经验知道,该厂生产这种仪器次品率P 与日产量x (件)之间近似满足关系：P ＝⎩⎨⎧196－x ，1≤x ≤c ，x ∈N ，1≤c <96，23，x >c ，x ∈N (注：次品率P ＝次品数总生产量,如P ＝0.1表示每生产10件产品,约有1件为次品,其余为合格品).已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元,但每生产一件次品将亏损A 2元,故厂方希望定出合适的日产量． (1) 试将生产这种仪器每天的盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数；(2) 当日产量x 为多少时,可获得最大利润？微难点4 构造函数研究不等关系一、 选择题1. 当x ∈[－2,1]时,不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A. [－5,－3]B. ⎣⎡⎦⎤－6，－98 C. [－6,－2] D. [－4,－3] 2. (2019·上饶一模)已知函数f (x )＝ln x ＋a 的导数为f ′(x ),若方程f ′(x )＝f (x )的根x 0小于1,则实数a 的取值范围为( )A. (1,＋∞)B. (0,1)C. (1,2 )D. (1,3 )3. 已知函数f (x )＝x ＋1x 2 ,g (x )＝log 2x ＋m ,若对x 1∈[1,2],x 2∈[1,4],使得f (x 1)≥g (x 2),则m 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎦⎤－∞，－54B. (－∞,2]C. ⎝⎛⎦⎤－∞，34 D. (－∞,0] 二、 填空题4. 设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对任意的x ∈R,有f (－x )＋f (x )＝x 2,当x ∈(0, ＋∞)时,f ′(x )＜x .若f (4－m )－f (m )≥8－4m ,则实数m 的取值范围为________．5. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,其导函数为f ′(x ),若f ′(x )＜f (x ),且f (x ＋1)＝f (3－x ),f (2 019)＝2,则不等式f (x )＜2e x －1的解集为________．6. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )＞1,f (0)＝4,则不等式e x f (x )＞e x ＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．三、 解答题7. 已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ,若不等式f （x ）ex ＋7x －2＞k (x ln x －1)(k 为正整数)对任意正实数x 恒成立,求k 的最大值．(参考数据：ln 7≈1.95,ln 8≈2.08)8. 已知函数f (x )＝ln x －ax 3,g (x )＝a e xe. (1) 若直线y ＝x 与y ＝g (x )的图象相切,求实数a 的值；(2) 若存在x 0∈[1,e],使得f (x 0)＞(1－3a )x 0＋1成立,求实数a 的取值范围．微难点5 利用导数研究函数的零点一、 解答题1. 已知函数f (x )＝2e x ＋ax .(1) 求f (x )的单调区间；(2) 讨论f (x )在(0,＋∞)上的零点个数．2. (2019·抚州调研)已知函数f (x )＝a 6 x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝⎛⎭⎫4，103 . (1) 求函数f (x )的单调增区间；(2) 若函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有3个零点,求m 的取值范围．3. 已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝3x －2a 2x. (1) 求函数F (x )＝f (x )－x ＋2在x ∈[4,＋∞)上的最大值；(2) 若函数H (x )＝2f (x )－ln [g (x )]在区间⎣⎡⎦⎤12，1 上有零点,求实数a 的取值范围．4. 已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x (a ∈R,e 为自然对数的底数).(1) 当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2) 若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12 上无零点,求a 的最小值．。