( ) 2）若 ∑ m (F ) = 0 ，则 w = cos 2t 3）若 ∑ m (F ) = cos 2t ，则 ε = cos 2t 4）在一定的时间内，当 ∑ m (F ) 一定时， I
z z z
1）若 ∑ m z F ≠ 0 ，则刚体的转动状态一定发生变化。
z
越大 , 运动状态越大。
可见，转动惯量表现刚体转动状态改变的难易程度。因此说：转动惯量是刚 体转动时惯性的度量。 转微分方程可以解决两类动力学问题：
( )
( ) ( ) ( )
由于约束力通过 Z 轴，于是有：
n d (I z w ) = ∑ m z F i dt i =1
即：
Iz
N n d 2ϕ = m F 或 I ε = mz F i i ∑ ∑ z z dt 2 i =1 I =1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( )
这就是刚体定轴转动的微分方程，即刚体对定轴的转动惯量与角速度的乘 积，等于作用于刚体的主动力 对该轴之矩的代数和。 ．．． 由以上可知：
对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这种情形称为动量矩守恒。
4
理论力学讲义
例 2：已知：圆轮半径 r,量 m ，物块重 p 。求：物块加速度。 解：取整体研究，对 O 点的动量矩为
L0 = Iw +
p vr g
外力对 O 总的矩为 ∑ m0 F 由
( ) = pr
e
d (L0 ) = ∑ m0 F 得： dt p ar = pr g
I 2 a / R = Nr2 − RT p a =T − p g I 1ia / R = M − Nr2 / i
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
未知量 a, T , Nr2 可求解：解之可得：
a=
( Mi − pR) Rg pR 2 + ( I 1i 2 + I 2 ) g
§12-4 刚体对轴的转动惯量
前面已介绍了刚体对轴的转动惯量是刚体转动时惯性的质量。计算公式为：
I 1 I 2 w0 (I1 + I 2 )t
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
设在刚体上作用有主动力 F 1, .F 2 L F n 和约束 力 N 1 , N 2 。这些力均为外力，设刚体对转轴的转动 惯量为 I z ，转动角速度为 w，则动量定理有：
n n d (I z w ) = ∑ m z F i + ∑ m z N i dt i =1 i =1
( )
Iε +
而 a = rε 即： ε = a / r 代入式得： pr 2 a= I + p r2 g 均质圆盘对中心轴的转动惯量为 1 I = mr 2 2 代入上式得：
a=
2 pg mg + 2 p
例 3：已知：图示 A 不离合器，开始时轮 2 静止，轮 1 角速度为 w0 。当离 合器接合后，1，2 一起转动，转动惯分别为 I 1 , I 2 。 求：1）接合后两轮的 w ，2）若经过 t 两轮 w 相同求 M f 解：经轴线为 x 轴，由于外力对 x 轴之矩为零，故动量矩守恒， 初瞬时 L x = I 1w0 接合后： L x ' = (I 1 + I 2 )w
I z = ∑ mi ri 2
i =1
n
量纲单位： [I ] = [M ] L2 单位： Kg ⋅ m 2 转动惯量在工程实际中非常重要。 因此必须深刻理解这逐步形个概念并会逆 运算和测量其大小。 下面就介绍计算转动惯量的方法：
[ ]
1.公式法：
应用公式
I z = ∑ mi ri
2
a. 均质圆环对中心轴的转动惯量
l
α
ln 2
§12-2
1．质点系的动量矩
质点系的动量矩定理
质点系中各质点对同一点 O（同一轴 Z）的动量矩之矢量（代数）和，称为 质点系对点 O（轴 Z）的动量矩。即：
n
L 0 = ∑ m 0 mi v i
i =1 n
(
) )
L z = ∑ m z mi v i
i =1
(
若 Z 为通过 O 点之轴，则有：
2．惯性半径（回转半径） 由以上可见，转动惯量与质量的比值仅与物体的几何形状及尺寸有关。如： 均质圆环： I z / M = R 2
1 1 R, I x / M = I y / M = R 2 2 4 1 1 1 均质矩形板： I x / M = a 2 , I y / M = b 2 , I z / M = (a 2 + b 2 ) 3 3 3
均质圆板： I x / M = 令 ρ z = I z / M 称为惯性半径 则有： I z = Mρ z2 即：物体的转动惯量等于该物体的质量与惯性半径平方的积。在机械工程手 册中可以查到一些简单几何形状整体零件的惯性半径。
9
理论力学讲义
3．平行轴定理 定理： 刚体对于任一轴的转动惯量等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的 转动惯量加上刚体的质量与两轴间 距离平方的乘积。即
(i ) (e ) d m 0 mi v i = m 0 F i + m 0 F i dt
(i )
(e )
(
)
( ) ( )
(i )
n
设质点系 n 有个质点，故上面的方程有 n 个，相加得：
d ∑ dt m (m v ) = ∑ m
n n
0
i =1
i
i
0
i =1
(F )+ ∑ m (F )
(e )
i
即：质点对某定轴的动量矩对时间的导数等于作用力对同一轴的矩。 3． 质点动量矩守恒定律 如作用于质点的力对某定点 O 之矩恒等于零，则有：
m 0 mv = 恒量
对某定轴有：
z
( ) m (mv ) = 恒量
2
理论力学讲义
例 1：已知： t = 0 时 w = w0 ，阻力 R = mw ， AB = l 求： t = ? 时， w 减小一半。 解：由动量矩定理 d m z mv = m z F dt
§12-1
1． 质点的动量矩
质点的动量定量
如图，质点 M 绕定点 O 运动，动量为 mv ，位置矢径为 r ，则质点 M 的动 量对于点 O 的矩定义为质点 M 对点 O 的动量矩。即： m 0 mv = r × mv 可见动量矩是矢量，垂直于 r 与 mv 构成的平面。
m mv
0
( )
( )
= mvr sin α = 2ΔOMA
理论力学讲义
第十二章 动量矩定理
在前一章我们介绍了动量定理， 安描述了质点在外力系作用下动量或质心运 动变化，但它不能完全描述质点系的运动，如质点系绕质心转动情况不能由动量 定理来描述，例如：均质圆轮绕轮心的定轴转动，再有在水平直线上作纯滚动的 圆轮和滑动的物体。若两者质量及质心速度相等，则动量必相等，但两者的运动 状态确不一样。可见，质点系的动量定理不能完全描述质点系的运动与作用力之 间的关系。 下面介绍一下质点系相对于基点（定轴）或质心运动状态的理论------动量矩 定理。
( ( ))
( )
可得：
即：
d (mlwl ) = −αmwl dt dw α =− w dt l
− t 1 α dw = − dt ,∴ w = ce l w l
α
当t = 0时 则 令 w = w0 代入可得：
w = w0
∴ c = w0
− t l
α
w = w0 e
e
− t l
α
=
1 2
∴t =
由对称性 而
Ix = Iy
I z = ∑ mi ri = ∑ mi ( xi2 + y i2 ) = ∑ mi xi2 + ∑ mi y i2 = I x + I y
2
∴Ix = Iy =
1 1 I z = MR 2 2 4
d. 均质矩形板 1 Mb 2 3 1 I y = Ma 2 3 1 I z = M (a 2 + b 2 ) 3 Ix =
t = 0 时； w = w0 t = 600 s 时， w = 0
∴ c = I z w0 = 8πmρ 2
− M f * 600 + 8πmρ 2 = 0
Mf =
8πmρ 2 = 47.1N ⋅ m 600
例 2：已知： P, M , I 1 , I 2 , R 传动比 Z 2 : Z 1 = r2 : r1 = i 求：重物加速度 解： 轮 2 及重物为研究对象， 由运动微分方程有：
1）已知转动规律，求外力 2）已知外力，求转动规律
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理论力学讲义
例
1 ： 已 知 ： 飞 轮 质 量 m = 500kg 。
I z = mρ 2 , ρ = 1.5m, w0 = 8πrad / s, t = 600s 时
, w = 0.
求：摩擦力矩 M f = ? 解：由定轴转动微分方程有： dw = −M f Iz dt 积分： I z w = − M f t + c
∴ L x = Lx ' 即： w =
I1 w0 I1 + I 2
3）由于
M f = cos 2t ∴ 轮 2 的 ε = cos 2t
I 1 w0 w = t (I 1 + I 2 )t
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而 2 轮初始静止：∴ w = εt 即： ε =
理论力学讲义
由动量矩定理：
I 2ε = M f
∴M f =
I z = ∑ mi Ri = R 2 ∑ mi = MR 2
2
b. 均质圆环对中心轴转动惯量
R.Mρ =
M R 2π
I z = ∫ (2π ⋅ rdrρ )r 2 = 2π ⋅ ρ