r r MO ( mv)
z
r F
r
( )
( )
§12-2
动量矩定理
r r r dL O = ∑MO F dt
1、质点的动量矩定理 质点的动量矩定理
( )
质点的动量矩定理的投影式： 质点的动量矩定理的投影式：
r r dLx d = Mx (mv) = ∑Mx (F) dt dt r dLy d r = My (m ) = ∑My (F) v dt dt r r dLz d = Mz (m ) = ∑Mz (F) v dt dt
x
Jz = ∑mr2 称刚体对 轴的转动惯量 称刚体对z轴的 i i
§12-1
质点和质点系的动量矩
r 2.3* 平面运动刚体的动量矩 L O
y
m ω
r ri
mi C
r vC
r vi
r r r L = ∑ri ×mvi O i
O
r r C
r r r r L =r ×m C + L v C O C
x
其中， C 其中， L
z r r Mz ( mv) Q
r mv
O
r r
Q'
r y ( mv) xy
r 对轴z的动量矩 r r ： 质点Q的动量 v 质点 的动量 m 的动量矩 Mz ( mv) r r r mv) xy 对点 之矩： 即 MO ( mv) 在z轴的投影。 ( 对点O之矩 之矩： 轴的投影。 轴的投影
§12-1 说明： 说明：
O
r vr
A
§12-2 3．动量矩守恒定律
r r(e) ∑M (F ) ≡ 0 O r (e) ∑Mz (F ) ≡ 0 i
动量矩定理
动量矩定理
r r r( e) dL O = ∑MO F i dt
r r L =C O
( )
Lz = C
动量矩守恒定律：当外力对于某定点（或某定轴） 动量矩守恒定律：当外力对于某定点（或某定轴）
A
1 2
ω 0
§12-2
r(e) ∑Mz (F ) ≡ 0
动量矩定理
z方向上动量矩守恒： Lz = C 方向上动量矩守恒：
解： (1) 当离合器接合后，两轮共同转动的角速度 当离合器接合后，两轮共同转动的角速度.
Lz0 = J1ω0 + J2 ⋅ 0 Lz = J1ω+ J2ω
J1ω0 解得： 由 Lz0 = Lz 解得： ω = J1 + J2
（4） 对点与对轴之动量矩的关系 ） r r r r r r MO F = Mz F MO ( m ) = Mz ( m ) v v z z
( )
( )
§12-1
质点和质点系的动量矩
r 2、 质点系的动量矩 L O
r r r 的动量矩： O （1）对点 的动量矩： L = ∑MO ( mvi ) ）对点O的动量矩 i
的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴） 的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量 矩保持不变。 矩保持不变。
§12-2
动量矩定理
例12-3 12-
如图所示离合器，开始时轮 静止 静止， 具 如图所示离合器，开始时轮2静止，轮1具
当离合器接合后，依靠摩擦使轮2启动 启动。 有角速度 ω 。当离合器接合后，依靠摩擦使轮 启动。 0 已知轮1和轮 的转动惯量分别为 J1 和 J2 。求： 已知轮 和轮2的转动惯量分别为 和轮 （1）当离合器接合后，两轮共同转动的角速度 ω ； ）当离合器接合后， （2）若经过 秒后两轮的转速相同，求离合器应有多大 ）若经过t 秒后两轮的转速相同， 的摩擦力矩 Mf ？
( )
Mf
1
A
M′ f
2
ω
ω
z
第十二章 动量矩定理
第十二章 动量矩定理 几个有意思的实际问题
第十二章 动量矩定理 几个有意思的实际问题
第十二章 动量矩定理
§12-1 质点和质点系的动量矩 12-
§12-1
质点和质点系的动量矩
r
1、 质点的动量矩
定义： 质点Q的动量 v 定义： 质点 的动量 m r r MO ( mv) 对点O的矩为质点对 的矩为质点对点 对点 的矩为质点对点O r r 的动量矩 MO ( mv) ： r r r r MO ( mv) = r ×mv r r r i j k x = x y z mx my mz v v v
r 求：小车的加速度 a 。
§12-2
动量矩定理
取小车和鼓轮组成的质点系为研究对象。 解： 取小车和鼓轮组成的质点系为研究对象。 将小车看作质点，并令顺时针方向为正。 将小车看作质点，并令顺时针方向为正。 r (e) L = JOω+ mvR, MO F = M −mgsinθ ⋅ R O i d vR g 由动量矩定理， 由动量矩定理， [JOω+ m ] = M −m sinθ ⋅ R dt ω v dv 因 ω= , = a, R dt
§12-1
质点和质点系的动量矩
解： 系统的动量矩由三部分组成 r r r r L = L 1 +L 2 +L 3 O O O O
L = JOω + mv1r + m v2r O 1 1 2 2
其中， 1 其中， v = rω, 1
r1 r2
ω
v2 = r ω 2
r mv2 2
2 2 2
A B
∴ L = (JO +mr +m r )ω O
A A
1 2 2
ω0 ω
ω
z
z
§12-2
动量矩定理
解： (2) 离合器的摩擦力矩 离合器的摩擦力矩.
以轮1作为研究对象。 由动量矩定理知： 以轮1作为研究对象。 由动量矩定理知： r(e) dLz dω dω2 = ∑Mz F , J1 1 =−Mf i J2 = Mf dt dt dt ω t 积分上式， 积分上式， ∫ J1dω = ∫ −Mf dt ω0 t 1 ω0 0 ∫0 J2dω2 = ∫0 Mf dt J1J2ω0 解得： 解得： Mf = ( J1 + J2 ) t
= JCω
§12-1
质点和质点系的动量矩
例12-1 12已知：两个鼓轮固连在一 已知：两个鼓轮固连在一 起，其总质量是 m，对转轴 O的转动惯量为 JO ，角速 度为ω ；鼓轮的半径分别为 r1 和 r2 。绳端悬挂的重物 A和 B 质量分别是 m1 和 m2 ，且 m1r1 > m2 r2。 求：系统对轴O的动量矩。 系统对轴O的动量矩。
( )
r F N
r Fy O r Fx O
解得： 解得：
M −mgR2 sinθ R a= JO + mR2
r v
r M mg 2
r mg
§12-2
动量矩定理
请同学们课后思考与分析： 请同学们课后思考与分析：
绳索跨过光滑的滑轮， 绳索跨过光滑的滑轮，一端系 一质量为m 的砝码，质量为m 一质量为 2的砝码，质量为 1 的小猴沿绳的另一端相对绳子 r 匀速向上爬， 以速度 vr匀速向上爬，初始系 统静止，不计滑轮质量。 统静止，不计滑轮质量。 问：砝码将如何运动？ 砝码将如何运动？
动量矩定理
r r r( e) dL O = ∑MO F i dt
( )
( ) ( )
r(e) dLy r(e) dL r(e) dLx z = ∑Mx F , = ∑My F , = ∑Mz F i i i dt dt dt
( )
2）内力不改变质点系的动量矩，只改变单个质点的动量矩。 （2）内力不改变质点系的动量矩，只改变单个质点的动量矩。 某点取矩 某点取矩 （3）动量对某点取矩，外力即对某点取矩； ）动量对某点取矩，外力即对某点取矩； 动量对某轴取矩，外力即对某轴取矩。 某轴取矩 某轴取矩 动量对某轴取矩，外力即对某轴取矩。 （4）由于变量太多，动量矩的积分形式通常不用。 ）由于变量太多，动量矩的积分形式通常不用。
§12-1
质点和质点系的动量矩
r 2.1 平移刚体的动量矩 L O
r r r r r L = ∑r ×mvi = ∑ m r ) ×vi ( ii O i i r ∑( miri )
m r r = ∑ m C ) ×vi ( r r r vi = vC
r m= m C r
r r r r r L = ∑MO ( mvC ) = rC ×mvC O
r r = r ×m C v C
§12-1
质点和质点系的动量矩
2.2 定轴转动刚体的动量矩 L z r L = ∑Mz ( mvi ) = z i
z
∑rmv
i
i i
vi = rω i
r vi
mi
= ∑rmrω i i i
=
ri
(
mr2 ω ∑ ii
)
Jz = ∑mr2 i i
ω
O
Lz = Jzω
y
（b）*相对速度瞬心 等 的动量矩定理： 相对速度瞬心 速度瞬心P 的动量矩定理：
r r r( e) dLP = ∑MP F i dt
( )
加速度瞬心； 限定条件： 限定条件： ① 加速度瞬心； 点的加速度指向质心； ② 动点的加速度指向质心； 速度瞬心到质心的距离保持不变。 ③ 速度瞬心到质心的距离保持不变。
§12-2
动量矩定理
例12-2 12-
已知：高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。 已知：高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。
鼓轮的半径为R，相对点 的转动惯量为 的转动惯量为J 鼓轮的半径为 ，相对点O的转动惯量为 O，作用在鼓 轮上的力偶矩为M。小车和矿石的总质量为 ， 轮上的力偶矩为 。小车和矿石的总质量为m，轨道 的倾角为θ 。设绳的质量和 各处的摩擦均忽略不计。 各处的摩擦均忽略不计。