第二章 2.1 第2课时一、选择题1．(2013～2014学年度河南新野高二阶段测试)下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 D ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)·180°[答案] A[解析] 选项B 是类比推理，选项C 、D 是归纳推理，只有选项A 是演绎推理．2．下列说法中正确的是( )A ．演绎推理和合情推理都可以用于证明B ．合情推理不能用于证明C ．演绎推理不能用于证明D ．以上都不对[答案] B[解析] 合情推理不能用于证明．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提使用错误D ．使用了“三段论”，但小前提使用错误[答案] D[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．4．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错[答案] A[解析] 大前提y ＝log a x 是增函数不一定正确．因为a >1还是0<a <1不能确定，所以选A.5．完全归纳推理是( )的推理( )A ．一般到个别B ．个别到一般C ．一般到一般D ．个别到个别 [答案] B[解析] 完全归纳推理是个别到一般的推理．6．△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定[答案] C[解析] ∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos(A ＋B )>0，∴A ＋B 为锐角，即∠C 为钝角．二、填空题7．以下推理过程省略的大前提为：____________.因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab .[答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .8．对于函数f (x )＝2xx 2＋ax ＋a，其中a 为实数，若f (x )的定义域为实数，则a 的取值范围是________．[答案] 0<a <4[解析] 要使f (x )定义域为R ，则x 2＋ax ＋a ≠0，即Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.三、解答题9．求证：对任意不相等正实数a 、b ，有(a b)a －b >1.[证明] 当a >b >0时，有a b >1，a －b >0，由指数函数的单调性知(a b )a －b >(a b)0＝1， 当b >a >0时，有0<a b<1， a －b <0，则(a b )a －b >(a b)0＝1. 综上：(a b)a －b >1.一、选择题1．三段论：“①雅安人一定坚强不屈；②雅安人是中国人；③所有的中国人都坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )A ．③②B ．③①C ．①②D ．②③ [答案] A[解析] 由三段论推理的定义可知大前提为③，小前提为②.2．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析] 大前提是矩形都是对角线相等的四边形．3．(2013～2014学年度灵宝高二检测)在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③[答案] A[解析] 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．二、填空题4．(2014·全国新课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________．[答案] A[解析] 由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A 、C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A .5．△ABC 中，若a 2b 2＝tan A tan B，则△ABC 的形状是________． [答案] 直角三角形或等腰三角形[解析] 由正弦定理得，a 2b 2＝sin 2A sin 2B ＝tan A tan B ＝sin Acos A sin Bcos B＝sin A ·cos B cos A ·sin A ，于是有sin A sin B ＝cos B cos A即sin A ·cos A －sin B ·cos B ＝0，12(sin 2A －sin 2B )＝0，cos(A ＋B )·sin(A －B )＝0， 所以有A ＋B ＝π2或A －B ＝0. 6．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N ＋(m ，n ∈N ＋)，且对任意m ，n ∈N ＋都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确结论为________．[答案] (1)(2)(3)[解析] 由条件可知，因为f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，所以f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9.又因为f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，所以f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1)＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，所以f (5,6)＝f (5,1)＋10＝24f (1,1)＋10＝26.故(1)(2)(3)均正确．三、解答题7．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，DE ∥BA .求证ED ＝AF ，写出“三段论”形式的演绎推理．[解析] 大前提：同角相等，两直线平行∴前提：∠BFD ＝∠A结论：DF ∥EA .大前提：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，小前提：DE ∥BA 且DF ∥EA ，结论：四边形AFDE 是平行四边形．大前提：平行四边形的对边相等，小前提：ED 和AF 为平行四边形的对边，结论：ED ＝AF .8．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． [分析] 本题主要考查用“三段论”证明函数的单调性的方法，解决此类问题应先找出证明的大前提，然后在大前提下证明小前提满足大前提，从而得出结论．[证明] 对∀x 1、x 2∈I ，且x 1<x 2，若f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数．大前提 设x 1、x 2是(－1，＋∞)上的任意两数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵a >1，且x 1<x 2，∴ax 1<ax 2，x 1－x 2<0.又∵x 1>－1，x 2>－1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．小前提∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．结论9．已知a 、b 、c 是全不为1的正数，x 、y 、z 为正实数，且有a x ＝b y ＝c z 和1x ＋1z ＝2y，求证a ，b ，c 成等比数列．[证明] 令a x ＝b y ＝c z ＝k ，则x ＝log a k ，y ＝log b k ，z ＝log c k .∵1x ＋1z ＝2y， a 、b 、c 是全不为1的正数，∴1log a k ＋1log c k ＝2log b k ，∴lg a lg k ＋lg c lg k ＝2lg b lg k， ∴lg a ＋lg c ＝lg b 2，∴b 2＝ac .∴a ，b ，c 成等比数列．。