精锐教育1对1辅导讲义棗互钠探索1、圆是如何确定的？大小怎么判定？2、圆中有哪些概念？3、垂径定理如何应用？*曲需提#【知识梳理1】圆的确定定理同圆或等圆中半径相等1•点与圆的位置关系圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
点P与圆心的距离为d，则点P在直线外二d r ；点P在直线上=d = r ；点P在直线内=d ：：：r。
【例题精讲】例1•如图，圆0的半径为15，O到直线I的距离0H=9，P、Q、R为I上的三点.PH=9，QH=12，RH=15，请分别说明点P、Q、R与圆0的位置关系【试一试】1•矩形ABCD中，AB= 8, BC=3.5，点P在边AB上，且BP = 3AP,如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( ).(A) 点B、C均在圆P夕卜；(B)点B在圆P夕卜、点C在圆P内；(C)点B在圆P内、点C在圆P夕卜；(D)点B、C均在圆P内.2•如图所示，已知丄ABC ,乙ACB=90, AC=12, AB “3, CD _ AB于点D，以C为圆心，5为半径作圆C ( )A.点D在圆内，B、A在圆外B.点D在圆内，点B在圆上，点A在圆外C.点B、D在圆内，A在圆外D.点D、B、A都在圆外2. 过三点的圆1. 不在同一直线上的三点确定一个圆。
2. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。
例2•如图，作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆.【试一试】1. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到 商定去的一块玻璃片应该是 （ ）2.三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形【知识梳理2】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1. 圆心角：顶点在圆心的角。
2. 弧：圆上任意两点之间的部分。
大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，能够重合的弧叫等弧。
3. 弦：联结圆上任意两点的线段。
直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦。
4. 弦心距：从圆心到弦的距离。
定理1在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等【例题精讲】 例1•已知，如图，ABCD 是O O 的直径，弦 AE // CD ，联结CEBC.求证：BC=DE.A .第①快B .第②快C .第③快D .第④快定理2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等•例2.如图，O O是厶ABC的外接圆，AO平分/ BAC，/ AOB= / BOC，探究△ ABC的形状，并说明理由【巩固练习】1.如图，AB=CD,OE L AB OFl CD / OEF25°，求/ EOF的度数.2.如图，点P是O O外的一点，PB与O O相交于点AB PD与O O相交于C D, AB=CD 例3.如图，在OO中，弦AB的长是半径0A的J3倍，C为AB的中点，AB 0C相交于P求证：四边形OACB为菱形.【巩固练习】1.如图，弦AB和CD相交于圆0内一点P,且/ OPB= / OPD,求证；AB =CD求证：（1）PO平分/ BPD(2) AE =EC【知识梳理3】垂径定理定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧推论1 一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(非直径) ：④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧•这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质.推论2圆的平行弦所夹的弧相等【例题精讲】例1.已知ABC中，AD _BC，垂足为D，且AD =4，以AD为直径作圆0,交AB边于点G,交AC边于点F，如果点F恰好是AD的中点.(1)求CD的长度；(2)当BD =3时，求BG的长度.【试一试】1•如图，已知O 0的半径为5,弦AB的长等于8, 0D丄AB，垂足为点D , D0的延长线与O 0相交3于点C,点E在弦AB的延长线上，CE与O O相交于点F, cosC二,5求：(1) CD的长(5分)；(2) EF的长(7分).例2•如图，AB是O O的直径，弦CD与AB相交，过点A、B向CD引垂线，垂足分别为E、F.求证：CE=DF【试一试】1.如图，CD为O O的弦，EF在直径AB上，EC丄CD, DF丄CD.求证：AE=DF置达絲检测1.下列命题中假命题是( )(A)平分弦的半径垂直于弦；(B)垂直平分弦的直线必经过圆心；(C)垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧；(D)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.2.如图，EF是O O的直径，CD交O O于M、N , H为MN的中点，EC _ CD于点C , FD _ CD于点D , 则下列结论错误的是()A. CM =DN ；B . CH =HD ；C . OH _CD ;D . EC=OH OH FD3. 我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距.如图4，在Rt △ ABC和Rt △ ACD中，•_ACB = • ACD =90，点D在边BC的延长线上，如果BC = DC = 3，那么△ ABC和厶ACD的外心距是4•如图，已知在L O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果.BAD =30 , OE =2，那么CD = . 5点P为。
O内一点，过点P的最长的弦长为10cm ,最短的弦长为8cm ,那么OP的长等于_________________ cm 6•如图，CD为O O的直径，以D为圆心，DO长为半径作弧，交O O于AB两点，求证：AC =BC = BA7•已知：如图，在△ ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心、CD为半径作半圆，分别与边AC、BC相交4于点 E 和点F.如果AB=AC=5, cosB= , AE=1 .5求：(1)线段CD的长度；(2)点A和点F之间的距离.1•下列说法中，结论错误的是（A •直径相等的两个圆是等圆;B •长度相等的两条弧是等弧;C •圆中最长的弦是直径;D •一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧.2•已知00是以坐标原点0为圆心，5为半径的圆，点M 的坐标为（-3,4），则点M 与00的位置关系为（）围是（ ）5•如图，圆0过点B 、C ，圆心0在等腰直角三角形 ABC 内部，/ BAC = 90° 0A=1,BC = 6,那么圆0的半径 为A. M 在O O 上;B. M 在00内;C. M 在00夕卜;D. M 在00右上方; 3•如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3, 若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范A • 8*B W 10 B . 8v AB < 10C • 4^AB < 5D • 4V AB W54•如图，L 0的直径AB 垂直弦CD 于M ，且M 是半径 0B 的中点，CD 6，则直径AB 的长3交O O 于点D , sin . BPC ，求CD 的长;5 7•如图，在△ ABC 中，AB=AC=10, BC =12, AD _ BC 于 D ,且 AG = AD ； 下列结论正确的是（)(A) DE J FG 4 DF EG(B) 1 FB GC (C) AD = 3 . 2 FB AD 2(D) DB = 22.如图，点D 、E 位于△ ABC 的两边上，下列条件能判定 DE II BC 的是（ ）A. AD DB 二 AE ECB. AD AE 二 BD ECC. AD CE =AE BDD. AD BC =AB DE3.已知非零向量a 、b 、c ，下列命题中是假命题的是（ ） OP=10，点 C 是O O 上一点，PC6•如图，已知AB 是O O 的直径，AB =16，点P 是AB 所在直线上一点, O 为AD 上一点，以O 为圆心，OA1.如图，点 D E F 、G 为 MBC 两边上的点，且 DE II FG II BC ，若DE FG 将 MBC 的面积三等分，那么为半径的圆交AB 于G ，交BC 于E 、F ,（1）求EF 的长;(2)求 tan BDG 的值;A.如果a = 2b，那么a // b ；B. 如果a = —2b，那么a // b ；4 4 4 4 4^44 ddC.如果| a |=| b |，那么a // b ;D. 如果a = 2b , b = 2c ,那么a // c;4. 如图，已知人0是厶ABC勺中线（是厶ABC勺重心，联结BG并延长交AC于点E,联结DE则S ABC : S GED的值为•5. 已知在△ ABC中，AB = AC = m , Z B = :•，那么边BC的长等于（）A. 2m sin：；B. 2m cos：；C. 2m tan：；D. 2m cot：；6. 抛物线y =x2 -2x在直线x =1右侧的部分是 ______________ .（从“上升的”或“下降的”中选择）.7. 已知抛物线y=ax2-4ax与x轴交于点A、B,顶点C的纵坐标是一2，那么a= ________________8. 下列说法正确的是（）（A）相切两圆的连心线经过切点（B）长度相等的两条弧是等弧（C）平分弦的直径垂直于弦（D）相等的圆心角所对的弦相等9. 已知O的半径长为3,0。
2的半径长r （r >0 ），如果0Q2 =3，那么O与O 0?不可能存在的位置关系是（）A.两圆内含；B. 两圆内切；C. 两圆相交；D. 两圆外切；。